Use o teorema do Divergente para calcular a integral de superficie , ou seja, calcule o fluxo de através de . , é a superficie do solido limitado pelo paraboloide e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície usando o Teorema da Divergente. A superfície é delimitada pelo paraboloide e pelo plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o fluxo, o Teorema da Divergente e como aplicar integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergente. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergente desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Em outras palavras:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral de volume da divergente de , o que geralmente é mais simples.

Passo 3

Vamos calcular a divergente de . O campo é dado por:
A divergente é:
Calculando cada derivada:
Então:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral de volume. Como a região está limitada pelo paraboloide e pelo plano (onde ), é conveniente usar coordenadas cilíndricas para simplificar os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é:

Passo 5

Vamos expressar a divergente em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral de volume fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos integrar passo a passo:
Primeiro, a integral em :
Então:
Expandindo :
Integrando em :
Então:

Resposta

O fluxo de através de é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule:
i) ,
Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
resto da divisão de por é?
Calcule:
o) ,