Use o teorema do Divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S, ou seja, calcule o fluxo de F através de S. F(x, y, z)=2 x^3+y^3 i+y^3+z^3 j+3 y^2 z k, S é a superficie do solido limitado pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e pelo plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície usando o Teorema da Divergente. A superfície é delimitada pelo paraboloide e pelo plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o fluxo, o Teorema da Divergente e como aplicar integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergente. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergente desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Em outras palavras:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral de volume da divergente de , o que geralmente é mais simples.

Passo 3

Vamos calcular a divergente de F(x, y, z) = (2x^3 + y^3),i + (y^3 + z^3),j + (3y^2 z),k . O campo é dado por:
nabla cdot F = partialpartial x(2x^3 + y^3) + partialpartial y(y^3 + z^3) + partialpartial z(3y^2 z)
A divergente é:
partialpartial x(2x^3 + y^3) = 6x^2
Calculando cada derivada:
partialpartial y(y^3 + z^3) = 3y^2
partialpartial z(3y^2 z) = 3y^2
nabla cdot F = 6x^2 + 3y^2 + 3y^2 = 6x^2 + 6y^2
Então:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral de volume. Como a região x = rcostheta, y = rsintheta, z = z está limitada pelo paraboloide dV = r , dz , dr , dtheta e pelo plano (onde ), é conveniente usar coordenadas cilíndricas para simplificar os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é:

Passo 5

Vamos expressar a divergente em coordenadas cilíndricas:
6x^2 + 6y^2 = 6r^2cos^2theta + 6r^2sin^2theta = 6r^2(cos^2theta + sin^2theta) = 6r^2
Então, a integral de volume fica:
integral triplaV 6r^2 , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 - r^2 6r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando:
= 6 integral0^2pi integral0^1 integral0^1 - r^2 r^3 , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar passo a passo:
Primeiro, a integral em integral0^1 - r^2 dz = (1 - r^2) - 0 = 1 - r^2 :
6 integral0^2pi integral0^1 r^3(1 - r^2) , dr , dtheta
Então:
6 integral0^2pi integral0^1 (r^3 - r^5) , dr , dtheta
Expandindo integral0^1 r^3 - r^5 , dr = [r^44 - r^66]0^1 = 14 - 16 = 312 - 212 = 112 :
6 integral0^2pi 112 , dtheta = 612 integral0^2pi dtheta = 12 cdot 2pi = pi
Integrando em :
Então:

Resposta

O fluxo de através de é igual a .

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