Use o teorema do Divergente para calcular a integral de superficie
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é a superficie do solido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
usando o Teorema da Divergente. A superfície
é delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o fluxo, o Teorema da Divergente e como aplicar integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergente. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergente desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Em outras palavras:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral de volume da divergente de
, o que geralmente é mais simples.
Passo 3
Vamos calcular a divergente de
. O campo é dado por:
A divergente é:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral de volume. Como a região
está limitada pelo paraboloide
e pelo plano
(onde
), é conveniente usar coordenadas cilíndricas para simplificar os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é:
Passo 5
Vamos expressar a divergente em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral de volume fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar passo a passo:
Primeiro, a integral em :
Primeiro, a integral em
Então:
Expandindo
:
Integrando em
:
Então:
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule:
i) ,
i)
Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
(a)
(b) A reta normal no ponto
Calcule:
o) ,
o)