Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: precisamos encontrar a equação do plano tangente e a equação da reta normal no ponto para a superfície dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelo gradiente da função que define a superfície. A função é:
Calculamos as derivadas parciais:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Então, o vetor gradiente no ponto é .
Passo 3
(a) Equação do plano tangente
Usamos a forma do ponto-normal para a equação do plano:
Simplificando:
(b) Equação da reta normal
A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor gradiente . As equações paramétricas da reta são: