Calcule
Dê uma interpretação para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a integral de linha
e dar uma interpretação para ela. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha, que fazem parte do estudo de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como calcular o produto escalar entre vetores e como aplicar esses conceitos ao caminho
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é um campo vetorial, ou seja, uma função que atribui um vetor a cada ponto no espaço. Já
representa um pequeno deslocamento ao longo da curva
. O produto escalar
mede como o campo vetorial
se alinha com o deslocamento
.
Passo 3
A integral de linha
basicamente soma todas essas pequenas contribuições ao longo do caminho
. Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva
. Isso significa expressar as coordenadas
em função de um parâmetro, geralmente
.
Passo 4
Vamos supor que a curva
seja parametrizada por
, onde
varia de
a
. Então, o vetor deslocamento
é igual a
, onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Isso significa que avaliamos o campo vetorial
ao longo da curva
, fazemos o produto escalar com o vetor derivada do caminho e integramos em relação a
.
Passo 6
Agora, para interpretar
, pense que
é uma força exercida sobre um objeto que se move ao longo do caminho
. A integral
então representa o trabalho realizado pela força
ao mover o objeto ao longo desse caminho.
Resposta
A integral
calcula o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto ao longo da trajetória
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
utilizando 3 ordens diferentes de integração.
A reta normal no ponto
na superfície dada.
Calcule as seguintes integrais triplas.
(b) , onde
é a região no primeiro octante limitada pelos planos
,
e o cilindro
.
(b)
Calcule
O que seria preciso fazer para mudar o sinal de
?