Calcule
Dê uma interpretação para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a integral de linha e dar uma interpretação para ela. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha, que fazem parte do estudo de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como calcular o produto escalar entre vetores e como aplicar esses conceitos ao caminho .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é um campo vetorial, ou seja, uma função que atribui um vetor a cada ponto no espaço. Já representa um pequeno deslocamento ao longo da curva . O produto escalar mede como o campo vetorial se alinha com o deslocamento .

Passo 3

A integral de linha basicamente soma todas essas pequenas contribuições ao longo do caminho . Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva . Isso significa expressar as coordenadas em função de um parâmetro, geralmente .

Passo 4

Vamos supor que a curva seja parametrizada por , onde varia de a . Então, o vetor deslocamento é igual a , onde é a derivada de em relação a .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Isso significa que avaliamos o campo vetorial ao longo da curva , fazemos o produto escalar com o vetor derivada do caminho e integramos em relação a .

Passo 6

Agora, para interpretar , pense que é uma força exercida sobre um objeto que se move ao longo do caminho . A integral então representa o trabalho realizado pela força ao mover o objeto ao longo desse caminho.

Resposta

A integral calcula o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto ao longo da trajetória .

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Calcule
O que seria preciso fazer para mudar o sinal de ?