Calcule as seguintes integrais triplas.
(b) integral triplaE z d x d y d z, onde E é a região no primeiro octante limitada pelos planos y=0, z=0, x+y=2,
2 y+x=6 e o cilindro y^2+z^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: . A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região no primeiro octante, que é limitada por alguns planos e um cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está no primeiro octante, o que significa que , e são todos maiores ou iguais a zero. Os limites são:
  • Planos: , , , e .
  • Cilindro: .
Isso nos dá uma ideia de onde a integração vai acontecer no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando os planos e , podemos resolver para em função de :
  • De , temos .
  • De , temos .
Então, para , os limites vão de 0 a 2 porque além de , a região começa a repetir ou sair do primeiro octante.
Para , entre 0 e , mas também limitado pelo cilindro , o que implica que vai de 0 até a menor distância definida pelos planos.
Para , ele vai de 0 até devido ao cilindro.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integral0^2 integral0^6 - x2 integral0^raiz4 - y^2 z , dz , dy , dx
Vamos integrar em ordem , , e depois .

Resposta

Após calcular a integral, o valor final é:
integral triplaE z , dx , dy , dz = 83

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