Calcule as seguintes integrais triplas.
(b) , onde é a região no primeiro octante limitada pelos planos ,
e o cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: . A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região no primeiro octante, que é limitada por alguns planos e um cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está no primeiro octante, o que significa que , e são todos maiores ou iguais a zero. Os limites são:
  • Planos: , , , e .
  • Cilindro: .
Isso nos dá uma ideia de onde a integração vai acontecer no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando os planos e , podemos resolver para em função de :
  • De , temos .
  • De , temos .
Então, para , os limites vão de 0 a 2 porque além de , a região começa a repetir ou sair do primeiro octante.
Para , entre 0 e , mas também limitado pelo cilindro , o que implica que vai de 0 até a menor distância definida pelos planos.
Para , ele vai de 0 até devido ao cilindro.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Vamos integrar em ordem , , e depois .

Resposta

Após calcular a integral, o valor final é:

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Calcule as seguintes integrais triplas.
(e) , onde é limitado por , no primeiro octante.