Calcule as seguintes integrais triplas.
(b)
, onde
é a região no primeiro octante limitada pelos planos
,
e o cilindro
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla:
. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região
no primeiro octante, que é limitada por alguns planos e um cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está no primeiro octante, o que significa que
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Os limites são:
- Planos:
, , , e . - Cilindro:
.
Isso nos dá uma ideia de onde a integração vai acontecer no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando os planos
e
, podemos resolver para
em função de
:
- De
, temos . - De
, temos .
Então, para
, os limites vão de 0 a 2 porque além de
, a região começa a repetir ou sair do primeiro octante.
Para
, entre 0 e
, mas também limitado pelo cilindro
, o que implica que
vai de 0 até a menor distância definida pelos planos.
Para
, ele vai de 0 até
devido ao cilindro.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Vamos integrar em ordem
,
, e depois
.
Resposta
Após calcular a integral, o valor final é:
Exercícios relacionados
Calcule
Dê uma interpretação para
.
Calcule
onde
utilizando 3 ordens diferentes de integração.
Calcule
O que seria preciso fazer para mudar o sinal de
?
Calcule as seguintes integrais triplas.
(e) , onde
é limitado por
, no primeiro octante.
(e)