Calcule
onde
utilizando 3 ordens diferentes de integração.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla de
sobre a região
, onde
é definido por
,
e
. Isso envolve a matéria de cálculo integral múltiplo. Vamos precisar configurar a integral em três ordens diferentes de integração para resolver.
Passo 2
Primeira ordem de integração:
.
Primeiro, fixamos
, depois
e por último
. A integral fica:
Vamos integrar em relação a
:
Agora, a integral simplifica para:
Integrando em relação a
:
Finalmente, integrando em relação a
:
Passo 3
Segunda ordem de integração:
.
Primeiro, fixamos
, depois
e por último
. A integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, a integral simplifica para:
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Terceira ordem de integração:
.
Primeiro, fixamos
, depois
e por último
. A integral fica:
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
A reta normal no ponto
na superfície dada.
(1 ponto). Considere a mudança de variáveis
Esboce a região
e também a região
. Exiba os cálculos para determinar a região
.
Calcule
Dê uma interpretação para
.
Calcule as seguintes integrais triplas.
(b) , onde
é a região no primeiro octante limitada pelos planos
,
e o cilindro
.
(b)