Calcule integral triplaD(x y+y z^3) d V onde D=(x, y, z) in R^3 /-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla de sobre a região , onde é definido por , e . Isso envolve a matéria de cálculo integral múltiplo. Vamos precisar configurar a integral em três ordens diferentes de integração para resolver.

Passo 2

Primeira ordem de integração: integral0^1 integral0^2 integral-1^1 ( x y + y z^3 ) dx , dy , dz .
Primeiro, fixamos integral-1^1 x y , dx = y [ x^22 ]-1^1 = y ( 12 - 12 ) = 0 , depois integral-1^1 y z^3 , dx = y z^3 [ x ]-1^1 = y z^3 (1 - (-1)) = 2 y z^3 e por último integral0^1 integral0^2 2 y z^3 , dy , dz . A integral fica:
2 z^3 integral0^2 y , dy = 2 z^3 [ y^22 ]0^2 = 2 z^3 times 2 = 4 z^3
Vamos integrar em relação a integral0^1 4 z^3 , dz = 4 [ z^44 ]0^1 = 4 times 14 = 1 :
Agora, a integral simplifica para:
Integrando em relação a :
Finalmente, integrando em relação a :

Passo 3

Segunda ordem de integração: integral-1^1 integral0^1 integral0^2 ( x y + y z^3 ) dy , dz , dx .
Primeiro, fixamos integral0^2 x y , dy = x [ y^22 ]0^2 = x times 2 = 2x , depois integral0^2 y z^3 , dy = z^3 [ y^22 ]0^2 = z^3 times 2 = 2 z^3 e por último integral-1^1 integral0^1 (2x + 2 z^3) , dz , dx = 2 integral-1^1 integral0^1 (x + z^3) , dz , dx . A integral fica:
integral0^1 x , dz = x [ z ]0^1 = x
Integrando em relação a integral0^1 z^3 , dz = [ z^44 ]0^1 = 14 :
2 integral-1^1 ( x + 14 ) dx = 2 ( integral-1^1 x , dx + integral-1^1 14 , dx )
integral-1^1 x , dx = [ x^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
Agora, a integral simplifica para:
integral-1^1 14 , dx = 14 times (1 - (-1)) = 14 times 2 = 12
Integrando em relação a 2 ( 0 + 12 ) = 1 :
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Terceira ordem de integração: integral0^2 integral-1^1 integral0^1 ( x y + y z^3 ) dz , dx , dy .
Primeiro, fixamos integral0^1 x y , dz = x y [ z ]0^1 = x y , depois integral0^1 y z^3 , dz = y [ z^44 ]0^1 = y times 14 = y4 e por último integral0^2 integral-1^1 ( x y + y4 ) dx , dy = integral0^2 y ( integral-1^1 x , dx + integral-1^1 14 , dx ) dy . A integral fica:
integral-1^1 x , dx = [ x^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0
Integrando em relação a integral-1^1 14 , dx = 14 times (1 - (-1)) = 14 times 2 = 12 :
integral0^2 y ( 0 + 12 ) dy = 12 integral0^2 y , dy = 12 [ y^22 ]0^2 = 12 times 2 = 1
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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