Calcule , onde é o perímetro do retângulo no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha fechada , onde é o contorno de um retângulo definido por , e , percorrido no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da integral de linha. A integral dada é da forma , onde:
Como a curva está no plano , podemos simplificar a integral considerando apenas as componentes e , já que nesse plano.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região delimitada por essa curva, temos:
Aqui, é a área do retângulo , .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 5
Agora, substituímos na integral dupla:
Como a integral é sobre um retângulo, podemos separar as integrais: