Calcule I=ointC(sen z d x-cos x d y+sen z d z), onde C é o perímetro do retângulo 0 <= x <= pi, 0 <= y <= 1 e z=3 no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha fechada , onde é o contorno de um retângulo definido por , e , percorrido no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da integral de linha. A integral dada é da forma , onde:
Como a curva está no plano , podemos simplificar a integral considerando apenas as componentes e , já que nesse plano.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região delimitada por essa curva, temos:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Aqui, é a área do retângulo , .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (-cos x)partial x = sin x
partial Ppartial y = partial (sin z)partial y = 0
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = sin x - 0 = sin x

Passo 5

Agora, substituímos na integral dupla:
I = integral duplaD sin x , dx , dy
Como a integral é sobre um retângulo, podemos separar as integrais:
I = ( integral0^1 dy ) ( integral0^pi sin x , dx )

Passo 6

Calculando as integrais separadamente:
integral0^1 dy = 1 - 0 = 1
integral0^pi sin x , dx = -cos x |0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
I = 1 times 2 = 2

Resposta

A integral vale 2.

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