Calcule , onde é o perímetro do retângulo no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha fechada , onde é o contorno de um retângulo definido por , e , percorrido no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da integral de linha. A integral dada é da forma , onde:
Como a curva está no plano , podemos simplificar a integral considerando apenas as componentes e , já que nesse plano.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região delimitada por essa curva, temos:
Aqui, é a área do retângulo , .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 5

Agora, substituímos na integral dupla:
Como a integral é sobre um retângulo, podemos separar as integrais:

Passo 6

Calculando as integrais separadamente:

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

A integral vale 2.

Exercícios relacionados

Calcule , sendo e o paraboloide , orientado no sentido anti-horário.
Calcule , onde é a superfície , e .
Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.2) ,
Usando o Teorema de Stokes, calcule , onde é o contorno da parte do plano , que está no octante, no sentido anti-horário.