Calcule , onde é a superfície , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde é a superfície definida por , com variando de 0 a 1 e de 0 a 2. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar sobre uma superfície. Quando temos uma superfície definida por uma função , a integral de uma função sobre essa superfície é dada por:
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está projetada.

Passo 3

No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da integral de superfície:

Passo 5

Então, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Observando que a função integranda não depende de , podemos calcular a integral em relação a separadamente:
Portanto, a integral reduz-se a:

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Mas precisamos expressar em termos de :

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando :
Agora, substituímos e aplicamos os limites de integração de a :
\

Passo 10

Calculando os valores:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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