Calcule
, onde
é a superfície
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a superfície definida por
, com
variando de 0 a 1 e
de 0 a 2. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar sobre uma superfície. Quando temos uma superfície definida por uma função
, a integral de uma função
sobre essa superfície é dada por:
Aqui,
é a região no plano
sobre a qual a superfície está projetada.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da integral de superfície:
Passo 5
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Observando que a função integranda não depende de
, podemos calcular a integral em relação a
separadamente:
Portanto, a integral reduz-se a:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas precisamos expressar
em termos de
:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando
:
Agora, substituímos
e aplicamos os limites de integração de
a
:
\
Passo 10
Calculando os valores:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.