Calcule
, onde
é a superfície
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a superfície definida por
, com
variando de 0 a 1 e
de 0 a 2. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar sobre uma superfície. Quando temos uma superfície definida por uma função
, a integral de uma função
sobre essa superfície é dada por:
Aqui,
é a região no plano
sobre a qual a superfície está projetada.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da integral de superfície:
Passo 5
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Observando que a função integranda não depende de
, podemos calcular a integral em relação a
separadamente:
Portanto, a integral reduz-se a:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas precisamos expressar
em termos de
:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando
:
Agora, substituímos
e aplicamos os limites de integração de
a
:
\
Passo 10
Calculando os valores:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.
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Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
f) Resolva a equação onde
.
12 - Equação de Ricatti: A equação
f) Resolva a equação
12 - Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
Calcule
, onde
e
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
,
.
Calcule
, sendo
e
o paraboloide
, orientado no sentido anti-horário.
Calcule
, onde
é o perímetro do retângulo
no sentido horário.