Calcule integral duplaS y d S, onde S é a superfície z=x+y^2, com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaS y , dS, onde S é a superfície definida por z = x + y^2, com x variando de 0 a 1 e y de 0 a 2. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar sobre uma superfície. Quando temos uma superfície definida por uma função z = g(x, y), a integral de uma função f(x, y, z) sobre essa superfície é dada por:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD f(x, y, g(x, y)) raiz1 + (partial gpartial x)^2 + (partial gpartial y)^2 , dx , dy
Aqui, D é a região no plano xy sobre a qual a superfície está projetada.

Passo 3

No nosso caso, f(x, y, z) = y e g(x, y) = x + y^2. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial gpartial x = 1
partial gpartial y = 2y

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da integral de superfície:
raiz1 + (partial gpartial x)^2 + (partial gpartial y)^2 = raiz1 + 1 + (2y)^2 = raiz2 + 4y^2

Passo 5

Então, nossa integral dupla fica:
integral duplaS y , dS = integral0^1 integral0^2 y cdot raiz2 + 4y^2 , dy , dx

Passo 6

Observando que a função integranda não depende de x, podemos calcular a integral em relação a x separadamente:
integral0^1 dx = 1
Portanto, a integral reduz-se a:
integral0^2 y cdot raiz2 + 4y^2 , dy

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja u = 2 + 4y^2. Então, a derivada de u em relação a y é:
dudy = 8y Rightarrow dy = du8y
Mas precisamos expressar y , dy em termos de du:
y , dy = du8

Passo 8

Substituindo na integral:
integral y cdot raiz2 + 4y^2 , dy = integral raizu cdot du8 = 18 integral u^1/2 , du

Passo 9

Integrando u^1/2:
18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Agora, substituímos u = 2 + 4y^2 e aplicamos os limites de integração de y = 0 a y = 2:
112 [(2 + 4(2)^2)^3/2 - (2 + 4(0)^2)^3/2] = 112 [(2 + 16)^3/2 - 2^3/2]
\

Passo 10

Calculando os valores:
2 + 16 = 18 e 2^3/2 = 2 raiz2
18^3/2 = (9 times 2)^3/2 = 9^3/2 times 2^3/2 = 27 times 2raiz2 = 54 raiz2
Substituindo de volta:
112 (54 raiz2 - 2 raiz2) = 112 (52 raiz2) = 52 raiz212 = 13 raiz23

Resposta

A integral dupla integral duplaS y , dS é igual a dfrac13 raiz23.

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