Calcule , sendo e o paraboloide , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de fluxo , onde e é o paraboloide , orientado no sentido anti-horário. Aqui, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e o cálculo de fluxos através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de fluxo . Isso representa a quantidade de “fluxo” da função vetorial passando através da superfície . Para calcular isso, precisamos encontrar a normal à superfície e fazer o produto escalar com .

Passo 3

Para encontrar a normal à superfície , que é o paraboloide , podemos usar o gradiente da função que define a superfície. Seja . O vetor normal é dado por .

Passo 4

Agora, precisamos garantir que a orientação da normal está correta. Como a superfície é orientada no sentido anti-horário (geralmente indicando orientação para “cima”), mantemos a normal . Se fosse para “baixo”, teríamos .

Passo 5

Vamos agora calcular o produto escalar :
Mas lembrando que , substituímos:

Passo 6

Agora, precisamos expressar a integral de superfície em coordenadas mais convenientes. Como é um paraboloide, é fácil usar coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é . Porém, para simplificar, podemos notar que a projeção do paraboloide no plano é o círculo .

Passo 7

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 8

Vamos separar a integral em partes:
Calculando cada integral interna:

Passo 9

Substituindo de volta:
Separando novamente:

Passo 10

Calculando cada parte:

Resposta

Portanto, o fluxo da função vetorial através do paraboloide é .

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a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .
Calcule , onde é o perímetro do retângulo no sentido horário.
Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.2) ,