Calcule
, sendo
e
o paraboloide
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral de fluxo
, onde
e
é o paraboloide
, orientado no sentido anti-horário. Aqui, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e o cálculo de fluxos através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de fluxo
. Isso representa a quantidade de “fluxo” da função vetorial
passando através da superfície
. Para calcular isso, precisamos encontrar a normal à superfície
e fazer o produto escalar com
.
Passo 3
Para encontrar a normal à superfície
, que é o paraboloide
, podemos usar o gradiente da função que define a superfície. Seja
. O vetor normal é dado por
.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que a orientação da normal está correta. Como a superfície é orientada no sentido anti-horário (geralmente indicando orientação para “cima”), mantemos a normal
. Se fosse para “baixo”, teríamos
.
Passo 5
Vamos agora calcular o produto escalar
:
Mas lembrando que
, substituímos:
Passo 6
Agora, precisamos expressar a integral de superfície em coordenadas mais convenientes. Como
é um paraboloide, é fácil usar coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é
. Porém, para simplificar, podemos notar que a projeção do paraboloide no plano
é o círculo
.
Passo 7
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 8
Vamos separar a integral em partes:
Calculando cada integral interna:
Passo 9
Substituindo de volta:
Separando novamente:
Passo 10
Calculando cada parte:
Resposta
Portanto, o fluxo da função vetorial
através do paraboloide
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a superfície
,
e
.
Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
f) Resolva a equação onde
.
12 - Equação de Ricatti: A equação
f) Resolva a equação
12 - Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
Calcule
, onde
é o perímetro do retângulo
no sentido horário.
Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
é dada em cada caso):
(c.2) ,
(c.2)