Calcule integral duplaS f cdot n d S, sendo f=y i+x j+z k e S o paraboloide z=1-x^2- y^2, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de fluxo integral duplaS f cdot n , dS, onde f = y i + x j + z k e S é o paraboloide z = 1 - x^2 - y^2, orientado no sentido anti-horário. Aqui, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e o cálculo de fluxos através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de fluxo integral duplaS f cdot n , dS. Isso representa a quantidade de “fluxo” da função vetorial f passando através da superfície S. Para calcular isso, precisamos encontrar a normal à superfície S e fazer o produto escalar com f.

Passo 3

Para encontrar a normal à superfície S, que é o paraboloide z = 1 - x^2 - y^2, podemos usar o gradiente da função que define a superfície. Seja F(x, y, z) = z + x^2 + y^2 - 1 = 0. O vetor normal é dado por nabla F = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z ) = (2x, 2y, 1).

Passo 4

Agora, precisamos garantir que a orientação da normal está correta. Como a superfície é orientada no sentido anti-horário (geralmente indicando orientação para “cima”), mantemos a normal n = (2x, 2y, 1). Se fosse para “baixo”, teríamos n = (-2x, -2y, -1).

Passo 5

Vamos agora calcular o produto escalar f cdot n:
f cdot n = (y)(2x) + (x)(2y) + (z)(1) = 2xy + 2xy + z = 4xy + z
Mas lembrando que z = 1 - x^2 - y^2, substituímos:
f cdot n = 4xy + (1 - x^2 - y^2)

Passo 6

Agora, precisamos expressar a integral de superfície em coordenadas mais convenientes. Como S é um paraboloide, é fácil usar coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
x = r costheta, y = r sintheta, z = 1 - r^2
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dS = raiz(2x)^2 + (2y)^2 + 1 , r , dr , dtheta. Porém, para simplificar, podemos notar que a projeção do paraboloide no plano xy é o círculo x^2 + y^2 <= 1.

Passo 7

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral duplaS (4xy + 1 - x^2 - y^2) , dS = integral0^2pi integral0^1 (4(r costheta)(r sintheta) + 1 - r^2) r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^1 (4r^2 costheta sintheta + (1 - r^2)) r , dr , dtheta
= integral0^2pi integral0^1 (4r^3 costheta sintheta + r - r^3) , dr , dtheta

Passo 8

Vamos separar a integral em partes:
integral0^2pi [ integral0^1 4r^3 costheta sintheta , dr + integral0^1 r , dr - integral0^1 r^3 , dr ] , dtheta
Calculando cada integral interna:
integral0^1 4r^3 costheta sintheta , dr = 4 costheta sintheta [ r^44 ]0^1 = costheta sintheta
integral0^1 r , dr = [ r^22 ]0^1 = 12
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14

Passo 9

Substituindo de volta:
integral0^2pi ( costheta sintheta + 12 - 14 ) , dtheta = integral0^2pi ( costheta sintheta + 14 ) , dtheta
Separando novamente:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta + integral0^2pi 14 , dtheta

Passo 10

Calculando cada parte:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta = 12 integral0^2pi sin(2theta) , dtheta = 0
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 times 2pi = pi2

Resposta

Portanto, o fluxo da função vetorial f através do paraboloide S é dfracpi2.

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