Calcule
, sendo
e
o paraboloide
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral de fluxo
, onde
e
é o paraboloide
, orientado no sentido anti-horário. Aqui, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e o cálculo de fluxos através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de fluxo
. Isso representa a quantidade de “fluxo” da função vetorial
passando através da superfície
. Para calcular isso, precisamos encontrar a normal à superfície
e fazer o produto escalar com
.
Passo 3
Para encontrar a normal à superfície
, que é o paraboloide
, podemos usar o gradiente da função que define a superfície. Seja
. O vetor normal é dado por
.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que a orientação da normal está correta. Como a superfície é orientada no sentido anti-horário (geralmente indicando orientação para “cima”), mantemos a normal
. Se fosse para “baixo”, teríamos
.
Passo 5
Vamos agora calcular o produto escalar
:
Mas lembrando que
, substituímos:
Passo 6
Agora, precisamos expressar a integral de superfície em coordenadas mais convenientes. Como
é um paraboloide, é fácil usar coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é
. Porém, para simplificar, podemos notar que a projeção do paraboloide no plano
é o círculo
.
Passo 7
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 8
Vamos separar a integral em partes:
Calculando cada integral interna:
Passo 9
Substituindo de volta:
Separando novamente:
Passo 10
Calculando cada parte:
Resposta
Portanto, o fluxo da função vetorial
através do paraboloide
é
.