Usando o Teorema de Stokes, calcule
, onde
é o contorno da parte do plano
, que está no
octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona integrais de linha com integrais de superfície. Para isso, vamos precisar encontrar o rotacional do campo vetorial e a área da superfície delimitada pela curva
no primeiro octante do plano
.
Passo 2
Primeiro, identificamos o campo vetorial dado:
O Teorema de Stokes nos diz que:
onde
é a superfície delimitada por
e
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 4
Calculando cada componente do rotacional:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do rotacional:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. A superfície é parte do plano
, e seu vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de
,
e
na equação do plano:
O fator
normaliza o vetor para que ele tenha comprimento 1.
Passo 7
Aplicando o Teorema de Stokes, a integral de superfície fica:
Passo 8
No plano
, podemos expressar
em termos de
e
:
Substituindo
na expressão:
Passo 9
Então, a integral de superfície simplifica para:
Passo 10
A área da superfície
no primeiro octante do plano
é um triângulo com vértices em
,
e
. A área desse triângulo é dada por:
Passo 11
Substituindo a área na integral:
Resposta
Portanto, a integral de linha é: