Usando o Teorema de Stokes, calcule ointC(y^2 d x+z^2 d y+x^2 d z), onde C é o contorno da parte do plano x+y+z=a, a>0, que está no 1^circ octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha ointC(y^2 dx + z^2 dy + x^2 dz) usando o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona integrais de linha com integrais de superfície. Para isso, vamos precisar encontrar o rotacional do campo vetorial e a área da superfície delimitada pela curva C no primeiro octante do plano x + y + z = a.

Passo 2

Primeiro, identificamos o campo vetorial dado:
F = (y^2, z^2, x^2)
O Teorema de Stokes nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
onde S é a superfície delimitada por C e n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )

Passo 4

Calculando cada componente do rotacional:
partial F3partial y &= partial x^2partial y = 0 partial F2partial z &= partial z^2partial z = 2z partial F1partial z &= partial y^2partial z = 0 partial F3partial x &= partial x^2partial x = 2x partial F2partial x &= partial z^2partial x = 0 partial F1partial y &= partial y^2partial y = 2y

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do rotacional:
nabla times F = (0 - 2z, 0 - 2x, 0 - 2y) = (-2z, -2x, -2y)

Passo 6

Agora, precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. A superfície é parte do plano x + y + z = a, e seu vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de x, y e z na equação do plano:
n = 1raiz3 (1, 1, 1)
O fator 1raiz3 normaliza o vetor para que ele tenha comprimento 1.

Passo 7

Aplicando o Teorema de Stokes, a integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (-2z, -2x, -2y) cdot 1raiz3 (1, 1, 1) , dS = 1raiz3 integral duplaS (-2z - 2x - 2y) , dS

Passo 8

No plano x + y + z = a, podemos expressar z em termos de x e y:
z = a - x - y
Substituindo z na expressão:
-2z - 2x - 2y = -2(a - x - y) - 2x - 2y = -2a + 2x + 2y - 2x - 2y = -2a

Passo 9

Então, a integral de superfície simplifica para:
1raiz3 integral duplaS (-2a) , dS = -2araiz3 integral duplaS dS

Passo 10

A área da superfície S no primeiro octante do plano x + y + z = a é um triângulo com vértices em (a,0,0), (0,a,0) e (0,0,a). A área desse triângulo é dada por:
Área = raiz32 a^2 Á

Passo 11

Substituindo a área na integral:
-2araiz3 cdot raiz32 a^2 = -a^3

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
ointC(y^2 dx + z^2 dy + x^2 dz) = -a^3

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