Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
é dada em cada caso):
(c.2)
,
(c.2)
Passo 1
Vamos entender o enunciado. A questão pede para determinarmos a solução geral da seguinte equação de Riccati:
Equações de Riccati são equações diferenciais não lineares de primeira ordem. Para resolvê-las, geralmente precisamos de uma solução particular que, neste caso, é dada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de Riccati na forma padrão:
Comparando com a equação dada:
Então, identificamos:
Passo 3
Para resolver a equação de Riccati usando a solução particular
, fazemos a substituição:
onde
é uma função que precisamos determinar. Substituindo
:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de
:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Primeiro, expandimos
:
Substituindo na equação:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 6
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando todos os termos por
:
Rearranjando:
Passo 7
Temos agora uma equação linear de primeira ordem para
:
Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Vamos resolver a integral
por partes. Seja
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Portanto:
Dividindo tudo por
:
Passo 9
Lembrando da substituição anterior:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o perímetro do retângulo
no sentido horário.
Calcule
, sendo
e
o paraboloide
, orientado no sentido anti-horário.
Usando o Teorema de Stokes, calcule
, onde
é o contorno da parte do plano
, que está no
octante, no sentido anti-horário.
Seja
a parte do gráfico de
, com normal exterior. Usando o Teorema de Stokes, determine
, sendo
.