Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular y1(t) é dada em cada caso):
(c.2) y' - t * y^2 + (2 * t - 1) * y = t - 1, y1(t) = 1,

Passo 1

Vamos entender o enunciado. A questão pede para determinarmos a solução geral da seguinte equação de Riccati:
Equações de Riccati são equações diferenciais não lineares de primeira ordem. Para resolvê-las, geralmente precisamos de uma solução particular que, neste caso, é dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de Riccati na forma padrão:
Comparando com a equação dada:
Então, identificamos:

Passo 3

Para resolver a equação de Riccati usando a solução particular , fazemos a substituição:
onde é uma função que precisamos determinar. Substituindo :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de :
Substituindo e na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Primeiro, expandimos :
Substituindo na equação:
Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 6

Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando todos os termos por :
Rearranjando:

Passo 7

Temos agora uma equação linear de primeira ordem para :
Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Vamos resolver a integral por partes. Seja e , então e .
Aplicando integração por partes:
Portanto:
Dividindo tudo por :

Passo 9

Lembrando da substituição anterior:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:

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