Calcule
e
, onde
de duas formas diferentes, para assim deduzir as fórmulas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular
e
de duas maneiras diferentes. Isso está ligado ao conteúdo de números complexos e trigonometria, especialmente usando a fórmula de Euler. Vamos precisar usar propriedades de exponenciação e identificar as partes reais e imaginárias para chegar nas fórmulas trigonométricas desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler:
Isso é super útil porque relaciona exponenciais complexas com funções trigonométricas básicas.
Passo 3
Vamos calcular
usando a fórmula de Euler:
Essa é uma aplicação direta da propriedade de exponenciação dos complexos.
Passo 4
Agora, vamos calcular
elevando a expressão
ao quadrado:
Aqui, usei a identidade
e lembrei que
.
Passo 5
Agora, vamos igualar as duas expressões que obtemos para
:
Comparando as partes reais e imaginárias, temos:
Essas são as fórmulas trigonométricas para o ângulo duplo!
Passo 6
Agora, vamos fazer algo similar para
. Primeiro, usando a fórmula de Euler:
Passo 7
Em seguida, elevamos
ao cubo:
Usei a expansão do binômio para o cubo aqui.
Passo 8
Novamente, igualando as duas expressões para
:
Separando as partes reais e imaginárias, temos:
Essas são as fórmulas trigonométricas para o ângulo triplo!
Resposta
As fórmulas deduzidas são:
e