Calcule e , onde de duas formas diferentes, para assim deduzir as fórmulas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular e de duas maneiras diferentes. Isso está ligado ao conteúdo de números complexos e trigonometria, especialmente usando a fórmula de Euler. Vamos precisar usar propriedades de exponenciação e identificar as partes reais e imaginárias para chegar nas fórmulas trigonométricas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler:
Isso é super útil porque relaciona exponenciais complexas com funções trigonométricas básicas.

Passo 3

Vamos calcular usando a fórmula de Euler:
Essa é uma aplicação direta da propriedade de exponenciação dos complexos.

Passo 4

Agora, vamos calcular elevando a expressão ao quadrado:
Aqui, usei a identidade e lembrei que .

Passo 5

Agora, vamos igualar as duas expressões que obtemos para :
Comparando as partes reais e imaginárias, temos:
Essas são as fórmulas trigonométricas para o ângulo duplo!

Passo 6

Agora, vamos fazer algo similar para . Primeiro, usando a fórmula de Euler:

Passo 7

Em seguida, elevamos ao cubo:
Usei a expansão do binômio para o cubo aqui.

Passo 8

Novamente, igualando as duas expressões para :
Separando as partes reais e imaginárias, temos:
Essas são as fórmulas trigonométricas para o ângulo triplo!

Resposta

As fórmulas deduzidas são:
e

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