Calcule (e^i theta)^2 e (e^i theta)^3, onde theta in R de duas formas diferentes, para assim deduzir as fórmulas:
c cos (2 theta)=cos ^2 theta-sen^2 theta sen(2 theta)=2 sen theta cos theta c cos (3 theta)=cos ^3 theta-3 cos theta sen^2 theta sen(3 theta)=3 cos ^2 theta sen theta-sen^3 theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular e de duas maneiras diferentes. Isso está ligado ao conteúdo de números complexos e trigonometria, especialmente usando a fórmula de Euler. Vamos precisar usar propriedades de exponenciação e identificar as partes reais e imaginárias para chegar nas fórmulas trigonométricas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler:
e^i theta = cos theta + i sin theta
Isso é super útil porque relaciona exponenciais complexas com funções trigonométricas básicas.

Passo 3

Vamos calcular (e^i theta)^2 = e^i 2theta = cos (2theta) + i sin (2theta) usando a fórmula de Euler:
Essa é uma aplicação direta da propriedade de exponenciação dos complexos.

Passo 4

Agora, vamos calcular (cos theta + i sin theta)^2 = cos^2 theta + 2i sin theta cos theta - sin^2 theta elevando a expressão ao quadrado:
Aqui, usei a identidade e lembrei que .

Passo 5

Agora, vamos igualar as duas expressões que obtemos para cos (2theta) + i sin (2theta) = cos^2 theta - sin^2 theta + 2i sin theta cos theta :
cos (2theta) = cos^2 theta - sin^2 theta
Comparando as partes reais e imaginárias, temos:
sin (2theta) = 2 sin theta cos theta
Essas são as fórmulas trigonométricas para o ângulo duplo!

Passo 6

Agora, vamos fazer algo similar para (e^i theta)^3 = e^i 3theta = cos (3theta) + i sin (3theta) . Primeiro, usando a fórmula de Euler:

Passo 7

Em seguida, elevamos (cos theta + i sin theta)^3 = cos^3 theta + 3i cos^2 theta sin theta - 3 cos theta sin^2 theta - i sin^3 theta ao cubo:
Usei a expansão do binômio para o cubo aqui.

Passo 8

Novamente, igualando as duas expressões para cos (3theta) + i sin (3theta) = cos^3 theta - 3 cos theta sin^2 theta + i (3 cos^2 theta sin theta - sin^3 theta) :
cos (3theta) = cos^3 theta - 3 cos theta sin^2 theta
Separando as partes reais e imaginárias, temos:
sin (3theta) = 3 cos^2 theta sin theta - sin^3 theta
Essas são as fórmulas trigonométricas para o ângulo triplo!

Resposta

As fórmulas deduzidas são:
cos (2theta) = cos^2 theta - sin^2 theta sin (2theta) = 2 sin theta cos theta
e
cos (3theta) = cos^3 theta - 3 cos theta sin^2 theta sin (3theta) = 3 cos^2 theta sin theta - sin^3 theta

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