Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
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e
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Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é descobrir se as funções
e
são linearmente independentes (LI). Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente trabalhando com combinação linear de funções. A gente vai precisar entender o que significa duas funções serem LI e como testar isso usando suas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas funções são LI se nenhuma delas pode ser escrita como um múltiplo da outra. Ou seja, não existe um número constante
tal que
.
Passo 3
Vamos verificar se existe esse
. Pegamos as duas funções:
Vamos tentar encontrar um
tal que
.
Passo 4
Substituindo
na equação:
Expandindo o lado direito:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes. Para os termos com
:
E para os termos constantes:
Passo 6
Vimos que o valor de
é o mesmo para os termos com
e para os termos constantes (
). Isso significa que:
Passo 7
Como encontramos um
que satisfaz a equação, isso quer dizer que
pode ser escrita como um múltiplo de
. Portanto, as funções não são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
não são linearmente independentes porque
é um múltiplo de
.
Exercícios relacionados
Prove as seguintes igualdades:
ii)
ii)
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
vi) 1
vi) 1
Usando o teorema de Taylor deduza que
Calcule
e
, onde
de duas formas diferentes, para assim deduzir as fórmulas: