Usando o teorema de Taylor deduza que
e^x=1+x1!+x^22!+ldots=sumk=0^infty x^kk!, forall x in R cos x=1-x^22!+x^44!+ldots=sumk=0^infty (-1)^k x^2 k(2 k)!, forall x in R sen x=x-x^33!+x^55!+ldots=sumk=0^infty (-1)^k x^2 k+1(2 k+1)!, forall x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema de Taylor para deduzir as séries de , e . Basicamente, vamos precisar entender o que é o Teorema de Taylor e como aplicá-lo para encontrar essas expansões em série. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Taylor. Ele nos permite aproximar uma função suave em torno de um ponto f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + dots usando uma série infinita de termos baseados nas derivadas da função naquele ponto. A fórmula geral é:
Para simplificar, vamos expandir em torno de , o que se chama de série de Taylor centrada em zero ou série de Maclaurin.

Passo 3

Vamos começar com a função . Precisamos calcular as derivadas de e avaliar em :
Avaliar em :

Passo 4

Agora substituímos na fórmula de Taylor:
e^x = 1 + 1 cdot x + 12!x^2 + 13!x^3 + dots = sumk=0^infty x^kk!
Pronto, deduzimos a série de Taylor para !

Passo 5

Vamos para . Calculamos as derivadas:
Avaliar em :

Passo 6

Substituindo na fórmula de Taylor:
cos x = 1 + 0 cdot x + (-1)2!x^2 + 03!x^3 + 14!x^4 + dots = sumk=0^infty (-1)^kx^2k(2k)!
Aí está a série de Taylor para !

Passo 7

Por fim, vamos para . As derivadas são:
Avaliar em :

Passo 8

Agora, aplicando a fórmula de Taylor:
Pronto, deduzimos também a série de Taylor para !

Resposta

Usando o Teorema de Taylor, deduzimos que:
e^x=1+x1!+x^22!+ldots=sumk=0^infty x^kk!, forall x in R cos x=1-x^22!+x^44!+ldots=sumk=0^infty (-1)^k x^2 k(2 k)!, forall x in R sen x=x-x^33!+x^55!+ldots=sumk=0^infty (-1)^k x^2 k+1(2 k+1)!, forall x in R

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