Usando o teorema de Taylor deduza que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema de Taylor para deduzir as séries de
,
e . Basicamente, vamos precisar entender o que é o Teorema de Taylor e como aplicá-lo para encontrar essas expansões em série. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Taylor. Ele nos permite aproximar uma função suave em torno de um ponto
usando uma série infinita de termos baseados nas derivadas da função naquele ponto. A fórmula geral é:
Para simplificar, vamos expandir em torno de
, o que se chama de série de Taylor centrada em zero ou série de Maclaurin.
Passo 3
Vamos começar com a função
. Precisamos calcular as derivadas de
e avaliar em
:
Avaliar em
:
Passo 4
Agora substituímos na fórmula de Taylor:
Pronto, deduzimos a série de Taylor para
!
Passo 5
Vamos para
. Calculamos as derivadas:
Avaliar em
:
Passo 6
Substituindo na fórmula de Taylor:
Aí está a série de Taylor para
!
Passo 7
Por fim, vamos para . As derivadas são:
Avaliar em
:
Passo 8
Agora, aplicando a fórmula de Taylor:
Pronto, deduzimos também a série de Taylor para !
Resposta
Usando o Teorema de Taylor, deduzimos que: