Usando o teorema de Taylor deduza que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema de Taylor para deduzir as séries de , e . Basicamente, vamos precisar entender o que é o Teorema de Taylor e como aplicá-lo para encontrar essas expansões em série. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Taylor. Ele nos permite aproximar uma função suave em torno de um ponto usando uma série infinita de termos baseados nas derivadas da função naquele ponto. A fórmula geral é:
Para simplificar, vamos expandir em torno de , o que se chama de série de Taylor centrada em zero ou série de Maclaurin.

Passo 3

Vamos começar com a função . Precisamos calcular as derivadas de e avaliar em :
Avaliar em :

Passo 4

Agora substituímos na fórmula de Taylor:
Pronto, deduzimos a série de Taylor para !

Passo 5

Vamos para . Calculamos as derivadas:
Avaliar em :

Passo 6

Substituindo na fórmula de Taylor:
Aí está a série de Taylor para !

Passo 7

Por fim, vamos para . As derivadas são:
Avaliar em :

Passo 8

Agora, aplicando a fórmula de Taylor:
Pronto, deduzimos também a série de Taylor para !

Resposta

Usando o Teorema de Taylor, deduzimos que:

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Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
© e
Prove as seguintes igualdades:
ii)
Calcule e , onde de duas formas diferentes, para assim deduzir as fórmulas:
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Sugestão: Comece usando as expressões em 2c), para e , e logo desenvolva.