Deduza as seguintes fórmulas trigonométricas a partir do desenvolvimento do primeiro membro, em cada caso:
2 cos alpha cos beta=cos (alpha-beta)+cos (alpha+beta) 2 sen alpha sen beta=cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta) 2 sen alpha cos beta=sen(alpha-beta)+sen(alpha+beta)
Sugestão: Comece usando as expressões em 2c), para cos alpha e sen alpha, e logo desenvolva.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para deduzirmos três fórmulas trigonométricas usando o desenvolvimento do primeiro membro. A matéria envolvida aqui é trigonometria, especificamente as fórmulas de soma e diferença de ângulos. Para resolver, vamos precisar das expressões das funções cosseno e seno para a soma e diferença de ángulos.

Passo 2

Primeiro, vamos deduzir a fórmula:
2 cos alpha cos beta = cos (alpha - beta) + cos (alpha + beta)
Para isso, lembramos das fórmulas de soma e diferença para o cosseno:
cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
Somando essas duas equações:
cos (alpha + beta) + cos (alpha - beta) = 2 cos alpha cos beta
Rearranjando:
2 cos alpha cos beta = cos (alpha - beta) + cos (alpha + beta)

Passo 3

Agora, vamos deduzir a segunda fórmula:
2 sen alpha sen beta = cos (alpha - beta) - cos (alpha + beta)
Usando as mesmas fórmulas de soma e diferença para o cosseno:
cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
Subtraindo a segunda equação da primeira:
cos (alpha - beta) - cos (alpha + beta) = 2 sin alpha sin beta
Portanto:
2 sen alpha sen beta = cos (alpha - beta) - cos (alpha + beta)

Passo 4

Por fim, vamos deduzir a terceira fórmula:
2 sen alpha cos beta = sen(alpha - beta) + sen(alpha + beta)
Para isso, usamos as fórmulas de soma e diferença para o seno:
sen (alpha + beta) = sen alpha cos beta + cos alpha sen beta
sen (alpha - beta) = sen alpha cos beta - cos alpha sen beta
Somando essas duas equações:
sen (alpha + beta) + sen (alpha - beta) = 2 sen alpha cos beta
Logo:
2 sen alpha cos beta = sen(alpha - beta) + sen(alpha + beta)

Resposta

As fórmulas deduzidas são:
  1. 2 cos alpha cos beta = cos (alpha - beta) + cos (alpha + beta)
  2. 2 sen alpha sen beta = cos (alpha - beta) - cos (alpha + beta)
  3. 2 sen alpha cos beta = sen(alpha - beta) + sen(alpha + beta)

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