Calcule a impedância equivalente de um resistor de 5 Omega em paralelo com um indutor de 1 nH e um capacitor de 1 mF , para as frequências de (d) 1 GHz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a impedância equivalente de três componentes—um resistor de , um indutor de e um capacitor de —ligados em paralelo, para uma frequência de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de impedância em circuitos AC e a fórmula de impedância para resistores, indutores e capacitores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em circuitos em paralelo, as admitâncias (o inverso da impedância) se somam. Então, vamos calcular a admitância de cada componente.

Passo 3

A impedância de um resistor é simplesmente o YR = 1R = 15,Omega = 0,2,S dado, que é . A admitância do resistor é o inverso da impedância:
(S significa Siemens, a unidade de admitância.)

Passo 4

Para o indutor, a impedância é calculada pela fórmula:
ZL = jomega L
Onde:
  • omega = 2pi times 1,GHz = 2pi times 10^9,rad/s é a unidade imaginária,
  • ZL = j times 2pi times 10^9 times 1 times 10^-9 = j times 2pi times 1 = j6,2832,Omega é a frequência angular,
  • YL = 1ZL = 1j6,2832 = -j0,1592,S é a indutância.
Vamos calcular :
Então:
A admitância do indutor é:

Passo 5

Para o capacitor, a impedância é:
ZC = 1jomega C
Onde ZC = 1j times 2pi times 10^9 times 1 times 10^-3 = 1j times 6,2832 times 10^6 approx -j0,000159,Omega . Então:
YC = j6,2832 times 10^-6,S
A admitância do capacitor é:

Passo 6

Agora, somamos as admitâncias dos três componentes para obter a admitância total:
Yeq = YR + YL + YC = 0,2 - j0,1592 + j0,0062832 approx 0,2 - j0,1529,S

Passo 7

Para encontrar a impedância equivalente, tomamos o inverso da admitância total:
Zeq = 1Yeq = 10,2 - j0,1529
Para simplificar, multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Zeq = 0,2 + j0,1529(0,2)^2 + (0,1529)^2 = 0,2 + j0,15290,04 + 0,0234 = 0,2 + j0,15290,0634 approx 3,155 + j2,414,Omega

Resposta

A impedância equivalente do circuito é aproximadamente .

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