Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos calcular a inclinação da reta tangente para a curva polar no ponto onde
. Para isso, vamos usar derivadas em coordenadas polares e aplicar algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Dada a função , a derivada é:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para a inclinação da reta tangente em coordenadas polares:
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 4
Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 5
Reconhecemos que e . Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da inclinação:
Resposta
A inclinação da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor
e
, respectivamente, e cujas seções transversais ao eixo maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior).
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.3) e o eixo
, ao redor do eixo
(12.3)
Encontre a área dentro da laço maior e fora do laço menor da
.