Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado.
(a)

Passo 1

Vamos calcular a inclinação da reta tangente para a curva polar no ponto onde . Para isso, vamos usar derivadas em coordenadas polares e aplicar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Dada a função , a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para a inclinação da reta tangente em coordenadas polares:
Substituindo e na fórmula:

Passo 4

Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 5

Reconhecemos que e . Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão da inclinação:

Resposta

A inclinação da reta tangente é .

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Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor e , respectivamente, e cujas seções transversais ao eixo maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior).
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.3) e o eixo , ao redor do eixo
Encontre a área dentro da laço maior e fora do laço menor da .