Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.3) e o eixo , ao redor do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o volume de um sólido que é formado quando a área entre o gráfico de e o eixo é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função cruza o eixo . Isso acontece quando .
Então, resolvemos:
Quais são as soluções dessa equação?

Passo 3

A equação se anula quando ou .
Então, temos:
Esses são os limites de integração, de até .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método dos cascos cilíndricos. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo . A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde é a função que define a curva, e são os limites de integração.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Primeiro, vamos expandir :
Multiplicando por :
Agora, multiplicamos por :
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Calculando nos limites e :
Simplificando as frações e realizando as operações, acabamos com:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado.
(a)
Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor e , respectivamente, e cujas seções transversais ao eixo maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior).
Encontre a área dentro da laço maior e fora do laço menor da .
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(a) Elipse, focos e e vértices e .