Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.3) y = (x - 1)(x - 3)^(2) e o eixo x, ao redor do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o volume de um sólido que é formado quando a área entre o gráfico de e o eixo é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função cruza o eixo . Isso acontece quando .
Então, resolvemos:
Quais são as soluções dessa equação?

Passo 3

A equação se anula quando ou .
Então, temos:
Esses são os limites de integração, de até .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método dos cascos cilíndricos. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo . A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde é a função que define a curva, e são os limites de integração.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Primeiro, vamos expandir :
Multiplicando por :
Agora, multiplicamos por :
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Calculando nos limites e :
Simplificando as frações e realizando as operações, acabamos com:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados