Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.3)
e o eixo
, ao redor do eixo
(12.3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o volume de um sólido que é formado quando a área entre o gráfico de
e o eixo
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cascos cilíndricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função
cruza o eixo
. Isso acontece quando
.
Então, resolvemos:
Quais são as soluções dessa equação?
Passo 3
A equação
se anula quando
ou
.
Então, temos:
Esses são os limites de integração, de
até
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método dos cascos cilíndricos. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo
. A fórmula geral para o volume
usando esse método é:
Onde
é a função que define a curva, e
são os limites de integração.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Primeiro, vamos expandir
:
Multiplicando por
:
Agora, multiplicamos por
:
Então, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Calculando nos limites
e
:
Simplificando as frações e realizando as operações, acabamos com:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado.
(a)
(a)
Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor
e
, respectivamente, e cujas seções transversais ao eixo maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior).
Encontre a área dentro da laço maior e fora do laço menor da
.
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(a) Elipse, focos e
e vértices
e
.
(a) Elipse, focos