Encontre a área dentro da laço maior e fora do laço menor da .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área que está dentro do laço maior e fora do laço menor da curva polar . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica em coordenadas polares e integração para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma equação em coordenadas polares, onde depende do ângulo . Essa curva forma um tipo de “laço” devido à presença do termo no denominador.

Passo 3

Para encontrar a área entre os laços, precisamos identificar os valores de onde a curva forma os pontos de interseção, ou seja, onde os dois laços se encontram. Isso ocorre quando :
Mas essa equação nunca é zero porque o denominador nunca é infinito. Então, em vez disso, devemos encontrar quando a curva se repete, o que acontece periodicamente.

Passo 4

Vamos visualizar a curva para entender melhor. Quando :
E quando :
Isso indica que a curva tem pontos mais próximos e mais distantes do polo (origem), formando dois “laços”.

Passo 5

Para calcular a área entre os laços, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Precisamos determinar os limites de integração ( e ) que correspondem ao intervalo onde a curva forma os laços maiores e menores.

Passo 6

Após analisar a simetria da curva, percebemos que os laços se formam no intervalo de a . Porém, como a curva se repete, podemos simplificar calculando a área em um intervalo de a e depois multiplicar por 2.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração trigonométrica, resultando em:

Resposta

A área procurada é .

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(a)
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
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