Encontre a área dentro da laço maior e fora do laço menor da
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área que está dentro do laço maior e fora do laço menor da curva polar
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica em coordenadas polares e integração para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é uma equação em coordenadas polares, onde
depende do ângulo
. Essa curva forma um tipo de “laço” devido à presença do termo
no denominador.
Passo 3
Para encontrar a área entre os laços, precisamos identificar os valores de
onde a curva forma os pontos de interseção, ou seja, onde os dois laços se encontram. Isso ocorre quando
:
Mas essa equação nunca é zero porque o denominador nunca é infinito. Então, em vez disso, devemos encontrar quando a curva se repete, o que acontece periodicamente.
Passo 4
Vamos visualizar a curva para entender melhor. Quando
:
E quando
:
Isso indica que a curva tem pontos mais próximos e mais distantes do polo (origem), formando dois “laços”.
Passo 5
Para calcular a área entre os laços, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Precisamos determinar os limites de integração (
e
) que correspondem ao intervalo onde a curva forma os laços maiores e menores.
Passo 6
Após analisar a simetria da curva, percebemos que os laços se formam no intervalo de
a
. Porém, como a curva se repete, podemos simplificar calculando a área em um intervalo de
a
e depois multiplicar por 2.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração trigonométrica, resultando em:
Resposta
A área procurada é
.
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, ao redor do eixo
(12.3)
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(a)
(a)
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(a) Elipse, focos e
e vértices
e
.
(a) Elipse, focos