Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar técnicas de divisão de polinômios e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o grau do numerador () é maior que o do denominador (). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão de polinômios para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos dividir por . Começamos dividindo o primeiro termo do numerador pelo primeiro termo do denominador:
Multiplicamos pelo denominador:
Subtraímos esse resultado do numerador original:
Passo 4
Agora, repetimos o processo com o novo polinômio . Dividimos o primeiro termo pelo primeiro termo do denominador:
Multiplicamos pelo denominador:
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
Passo 5
Agora, nossa divisão resultou em:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Agora, a gente já pode integrar os dois primeiros termos facilmente.
Passo 7
Calculando as integrais simples:
Agora, precisamos resolver . Para isso, vamos usar substituição.
Passo 8
Vamos fazer a substituição:
Então, a derivada de em relação a é:
Observamos que no numerador temos , que não é exatamente . Para ajustar, vamos reescrever como uma combinação de mais um termo extra:
Passo 9
Agora, substituímos na integral:
A primeira parte se simplifica pela substituição :
A segunda parte fica:
Mas para isso, precisamos expressar em termos de :
No entanto, isso complica a integral, sugerindo que talvez precisemos ajustar nossa abordagem. Em vez disso, vamos tentar outra técnica de integração.
Passo 10
Vamos tentar dividir o numerador de outra maneira para facilitar a integração:
Escrevemos
Resolvendo para e :
Comparando coeficientes:
Então:
→
→ → →
Então:
Passo 11
Agora, de volta à integral:
A primeira integral, com , é direta após a substituição :
Para a segunda integral, precisamos completar o quadrado no denominador:
Então, a integral se torna:
Passo 12
Agora, reconhecemos a forma da integral:
Aplicando isso, com e :
Simplificando:
Passo 13
Agora, juntando todas as partes da integral original:
Passo 14
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando (note que não é real, mas como estamos trabalhando com integrais definidas, consideramos a função contínua no intervalo):
Resposta
Após calcular e subtrair os valores nos limites, a integral resulta em aproximadamente:
Aproximando os valores numéricos, temos:
Portanto, a resposta final é aproximadamente -2.24.