Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar técnicas de divisão de polinômios e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o grau do numerador ( ) é maior que o do denominador ( ). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos dividir por . Começamos dividindo o primeiro termo do numerador pelo primeiro termo do denominador:
Multiplicamos pelo denominador:
Subtraímos esse resultado do numerador original:

Passo 4

Agora, repetimos o processo com o novo polinômio . Dividimos o primeiro termo pelo primeiro termo do denominador:
Multiplicamos pelo denominador:
Subtraímos esse resultado do polinômio atual:

Passo 5

Agora, nossa divisão resultou em:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar a integral:
Agora, a gente já pode integrar os dois primeiros termos facilmente.

Passo 7

Calculando as integrais simples:
Agora, precisamos resolver . Para isso, vamos usar substituição.

Passo 8

Vamos fazer a substituição:
Então, a derivada de em relação a é:
Observamos que no numerador temos , que não é exatamente . Para ajustar, vamos reescrever como uma combinação de mais um termo extra:

Passo 9

Agora, substituímos na integral:
A primeira parte se simplifica pela substituição :
A segunda parte fica:
Mas para isso, precisamos expressar em termos de :
No entanto, isso complica a integral, sugerindo que talvez precisemos ajustar nossa abordagem. Em vez disso, vamos tentar outra técnica de integração.

Passo 10

Vamos tentar dividir o numerador de outra maneira para facilitar a integração:
Escrevemos
Resolvendo para e :
Comparando coeficientes:
Então:
Então:

Passo 11

Agora, de volta à integral:
A primeira integral, com , é direta após a substituição :
Para a segunda integral, precisamos completar o quadrado no denominador:
Então, a integral se torna:

Passo 12

Agora, reconhecemos a forma da integral:
Aplicando isso, com e :
Simplificando:

Passo 13

Agora, juntando todas as partes da integral original:

Passo 14

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando (note que não é real, mas como estamos trabalhando com integrais definidas, consideramos a função contínua no intervalo):

Resposta

Após calcular e subtrair os valores nos limites, a integral resulta em aproximadamente:
Aproximando os valores numéricos, temos:
Portanto, a resposta final é aproximadamente -2.24.

Exercícios relacionados

As equações dão a posição de uma partícula no instante .
Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo .
Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor e , respectivamente, e cujas seções transversais ao eixo maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior).
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado.
(a)