Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor a e b, respectivamente, e cujas seções transversais ao eixo maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que tem como base uma elipse com semi-eixos a e b. As “fatias” do sólido, cortadas perpendicularmente ao eixo maior da elipse, são semi-círculos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente integração para volumes de sólidos com seções transversais conhecidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a forma da elipse. A equação padrão de uma elipse com semi-eixo maior a ao longo do eixo x e semi-eixo menor b ao longo do eixo y é:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para y, já que vamos precisar da relação entre x e y para determinar as dimensões dos semi-círculos nas fatias.
Como estamos lidando apenas com a parte superior da elipse (semi-espaço), consideramos:

Passo 4

Agora, cada fatia perpendicular ao eixo x (eixo maior) é um semi-círculo. O diâmetro desse semi-círculo é uma corda da elipse perpendicular ao eixo x. O comprimento dessa corda é igual ao valor de y multiplicado por 2:

Passo 5

O raio r(x) do semi-círculo é a metade do diâmetro:

Passo 6

A área A(x) de cada semi-círculo é metade da área de um círculo completo:

Passo 7

Para encontrar o volume total do sólido, integramos a área das fatias ao longo do eixo x, de -a a a:

Passo 8

Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos calcular de 0 a a e multiplicar por 2:

Passo 9

Vamos resolver a integral:

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão para V:

Resposta

O volume do sólido é:

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