Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor
e
, respectivamente, e cujas seções transversais ao eixo maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que tem como base uma elipse com semi-eixos
e
. As “fatias” do sólido, cortadas perpendicularmente ao eixo maior da elipse, são semi-círculos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente integração para volumes de sólidos com seções transversais conhecidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a forma da elipse. A equação padrão de uma elipse com semi-eixo maior
ao longo do eixo
e semi-eixo menor
ao longo do eixo
é:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para
, já que vamos precisar da relação entre
e
para determinar as dimensões dos semi-círculos nas fatias.
Como estamos lidando apenas com a parte superior da elipse (semi-espaço), consideramos:
Passo 4
Agora, cada fatia perpendicular ao eixo
(eixo maior) é um semi-círculo. O diâmetro desse semi-círculo é uma corda da elipse perpendicular ao eixo
. O comprimento dessa corda é igual ao valor de
multiplicado por 2:
Passo 5
O raio
do semi-círculo é a metade do diâmetro:
Passo 6
A área
de cada semi-círculo é metade da área de um círculo completo:
Passo 7
Para encontrar o volume total do sólido, integramos a área das fatias ao longo do eixo
, de
a
:
Passo 8
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo
), podemos calcular de
a
e multiplicar por 2:
Passo 9
Vamos resolver a integral:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na expressão para
:
Resposta
O volume do sólido é: