Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a inclinação da reta tangente à curva polar no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inclinação da reta tangente em coordenadas polares, utilizando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por (a distância do ponto à origem) e (o ângulo em relação ao eixo positivo ). A inclinação da reta tangente pode ser encontrada usando a fórmula da derivada em termos de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular no ponto dado :
Sabemos que , então:

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, :
Então, em :

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula da derivada :
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto onde é .

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