Encontre uma equação polar que tenha o mesmo gráfico da equação em x e y: x^2/9 + y^2/4 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar uma equação em coordenadas polares que tenha o mesmo gráfico da equação dada em coordenadas cartesianas: x^2/9 + y^2/4 = 1. O conteúdo aqui envolve transformação de coordenadas e um pouco de geometria analítica. Vamos precisar lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como relacionar as coordenadas cartesianas (x, y) com as coordenadas polares (r, θ). A gente tem que:
Isso vai nos ajudar a substituir x e y na equação original.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na equação da elipse:
Simplificando os quadrados:

Passo 4

Vamos fatorar o r^2 da equação:
Agora, isolamos r^2:

Passo 5

Para facilitar, vamos combinar as frações no denominador:
Então:

Passo 6

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para obter r:
Essa é a equação polar que representa a mesma elipse da equação original em coordenadas cartesianas.

Resposta

A equação polar equivalente é:

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