Resolva o PVI

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. O objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação
com a condição inicial . Para resolver, vamos utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais, como separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação dada. Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Vamos simplificar o lado direito da equação utilizando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Agora, reescrevemos a equação para facilitar a separação das variáveis e :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a integral à esquerda:

Passo 6

Calculando as integrais:
  • Primeira integral:
  • Segunda integral (usando integração por partes):
Portanto:

Passo 7

Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Passo 9

Aplicando a condição inicial , substituímos e na equação:
Simplificando:

Resposta

A solução implícita do PVI é:

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Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de .
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Determine a solução do PVI
Resolva a equação