Resolva o PVI
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação
com a condição inicial
. Para resolver, vamos utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais, como separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação dada. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Vamos simplificar o lado direito da equação utilizando a identidade trigonométrica
:
Passo 4
Agora, reescrevemos a equação para facilitar a separação das variáveis
e
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a integral à esquerda:
Passo 6
Calculando as integrais:
- Primeira integral:
- Segunda integral (usando integração por partes):
Portanto:
Passo 7
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a expressão:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Passo 9
Aplicando a condição inicial
, substituímos
e
na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução implícita do PVI é:
Exercícios relacionados
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de
.
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de
.
Determine a solução do PVI
Resolva a equação