Em uma certa montanha, a elevação
acima de um ponto
em um plano
ao nível do mar é dada por
, onde
e
estão em metros. O eixo
positivo aponta para o leste e o eixo
positivo aponta para o norte. Um alpinista está no ponto (-20, 5, 1991).
Se o alpinista usar uma bússola para caminhar para oeste, ele começará a subir ou a descer?
Se o alpinista usar uma bússola para caminhar para oeste, ele começará a subir ou a descer?
Passo 1
Vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos uma função que descreve a elevação
de uma montanha em relação a um ponto
no plano
. A função é
. O alpinista está em um ponto específico
e quer saber se, ao caminhar para oeste usando uma bússola, ele vai subir ou descer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e direção de inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a direção para a qual o alpinista vai se mover. Caminhar para oeste significa mover-se na direção negativa do eixo
. Então, o vetor direção para oeste é
.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir como a elevação
muda nessa direção. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
O gradiente da função
, que nos dá a direção de maior aumento, é dado por:
No ponto
, o gradiente fica:
Passo 5
Para saber se o alpinista vai subir ou descer, calculamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção para oeste:
Passo 6
O resultado do produto escalar é negativo (
), o que indica que a direção para oeste é oposta à direção de aumento da elevação. Portanto, ao caminhar para oeste, a elevação
vai diminuir.
Resposta
O alpinista começará a descer ao caminhar para oeste.