Em uma certa montanha, a elevação z acima de um ponto (x, y) em um plano x y ao nível do mar é dada por z = 2000 - 0.02 * x^2 - 0.04 * y^2, onde x, y e z estão em metros. O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte. Um alpinista está no ponto (-20, 5, 1991).
Se o alpinista usar uma bússola para caminhar para oeste, ele começará a subir ou a descer?

Passo 1

Vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos uma função que descreve a elevação de uma montanha em relação a um ponto no plano . A função é . O alpinista está em um ponto específico e quer saber se, ao caminhar para oeste usando uma bússola, ele vai subir ou descer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e direção de inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a direção para a qual o alpinista vai se mover. Caminhar para oeste significa mover-se na direção negativa do eixo . Então, o vetor direção para oeste é .

Passo 3

Agora, precisamos descobrir como a elevação muda nessa direção. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

O gradiente da função , que nos dá a direção de maior aumento, é dado por:
No ponto , o gradiente fica:

Passo 5

Para saber se o alpinista vai subir ou descer, calculamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção para oeste:

Passo 6

O resultado do produto escalar é negativo ( ), o que indica que a direção para oeste é oposta à direção de aumento da elevação. Portanto, ao caminhar para oeste, a elevação vai diminuir.

Resposta

O alpinista começará a descer ao caminhar para oeste.

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