Calcule. \int \frac{3 s}{1+s^{2}} d s$

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integração que envolve uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição, que é uma técnica que facilita a integração de funções complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração . Vemos que o numerador é proporcional à derivada do denominador . Isso é um sinal de que a técnica de substituição vai funcionar bem aqui.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a : Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de : Aqui, simplificamos a integral substituída.

Passo 5

A integral é uma integral básica que sabemos que é igual a . Então, substituindo de volta: Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta: Como é sempre positivo, podemos remover o valor absoluto.

Resposta

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