Calcule.
\int \frac{3 s}{1+s^{2}} d s$
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integração que envolve uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição, que é uma técnica que facilita a integração de funções complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração . Vemos que o numerador é proporcional à derivada do denominador . Isso é um sinal de que a técnica de substituição vai funcionar bem aqui.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Isso significa que .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Aqui, simplificamos a integral substituída.
Passo 5
A integral é uma integral básica que sabemos que é igual a . Então, substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta:
Como é sempre positivo, podemos remover o valor absoluto.
Resposta
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