Calcule as integrail integral^-1 ln (x^2)x d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
integral^-1 ln (x^2)x , dx
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções logarítmicas e potências de . Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos logaritmos e técnicas de substituição na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que:
ln(x^2) = 2ln|x|
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
integral^-1 2ln|x|x , dx

Passo 3

Agora, observe que temos uma função u = ln|x| dividida por dudx = 1x , multiplicada por 2. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Rearranjando a equação da derivada, temos:
du = 1x , dx
Agora, podemos substituir integral 2u , du e na integral original:

Passo 5

A integral agora ficou mais simples:
integral 2u , du = 2 cdot u^22 + C = u^2 + C
Aqui, é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original substituindo u^2 = (ln|x|)^2 :
(ln|x|)^2 + C
Portanto, a integral fica:

Resposta

A integral
integral^-1 ln (x^2)x , dx
é igual a
(ln|x|)^2 + C

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