Calcule as integrail

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de com limites de 1 a . Esse problema envolve cálculo integral, mais especificamente, técnicas de integração envolvendo funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar substituição e entender um pouco sobre derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Lembre-se que qualquer expressão da forma pode ser escrita como . Então, temos:
Isso simplifica a nossa integral para:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar . Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir e na nossa integral original:
Simplificando a expressão:
Perceba que ainda temos em termos de . Mas como , não conseguimos resolver essa integral usando funções elementares simples. Isso significa que a integral não pode ser expressa de forma fechada usando funções básicas que conhecemos.

Passo 5

Dado que não conseguimos encontrar uma antiderivada elementar para essa função, a melhor forma de calcular a integral definida é utilizando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson. Esses métodos nos permitem aproximar o valor da integral com uma boa precisão.

Resposta

Portanto, a integral não possui uma antiderivada elementar e deve ser calculada numericamente. Utilizando métodos numéricos apropriados, podemos encontrar que o valor aproximado da integral é:
Obs: Para obter um valor mais preciso, é recomendado utilizar uma calculadora científica ou software de cálculo que suporte integrais numéricas.

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