Calcule as integrais inprópreas integral1^+infty x^-3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Esse problema está ligado ao estudo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções com potências negativas e aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite o cálculo. A integral imprópria integral1^+infty x^-3/2 , dx = limb to +infty integral1^b x^-3/2 , dx significa que vamos integrar a função de 1 até o infinito. Como o limite superior é infinito, vamos substituir esse limite por uma variável que tende ao infinito:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . Para isso, usamos a regra de integração para potências:
integral x^-3/2 , dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = x^-1/2-1/2 + C = -2x^-1/2 + C
Aqui, , então:

Passo 4

Vamos agora avaliar essa antiderivada nos limites de integração de 1 a [ -2x^-1/2 ]1^b = -2b^-1/2 - (-2 cdot 1^-1/2) = -2raizb + 2 :

Passo 5

Por fim, aplicamos o limite quando limb to +infty ( -2raizb + 2 ) = 0 + 2 = 2 tende ao infinito:
O termo vai para 0 conforme cresce sem limite.

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é igual a 2.

Exercícios relacionados