Calcule as integrail integral t(t^2+1)^5 d t

Passo 1

Vamos calcular a integral integral t(t^2+1)^5 dt. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por substituição, que é útil quando conseguimos simplificar a integral substituindo parte dela por uma nova variável. Precisamos identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída, facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna e a sua derivada. Observamos que (t^2 + 1) está elevada à 5ª potência. Vamos definir:
u = t^2 + 1
Agora, derivamos u em relação a t:
dudt = 2t Rightarrow du = 2t , dt

Passo 3

Na nossa integral original, temos o termo t , dt, que aparece na derivada de u. Vamos isolar t , dt na expressão da derivada:
t , dt = du2

Passo 4

Substituímos u e t , dt na integral original:
integral t(t^2+1)^5 dt = integral (u)^5 cdot du2 = 12 integral u^5 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^5 em relação a u:
integral u^5 du = u^66 + C
Então, a integral fica:
12 cdot u^66 + C = u^612 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por t^2 + 1:
(t^2 + 1)^612 + C

Resposta

A integral integral t(t^2+1)^5 dt é igual a (t^2 + 1)^612 + C.

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