Oeterminie a aría da regià limitada pila curva y = ln(x), pelo lixo x pelar vetas x = 1 & x e

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos encontrar a área da região limitada pela curva , pelo eixo , e pelas retas verticais e . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a determinar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Sabemos que o logaritmo natural, , está definido para e cresce à medida que aumenta, mas de forma crescente mais devagar.

Passo 3

As retas verticais e vão delimitar nosso intervalo de integração. Queremos encontrar a área entre a curva e o eixo nesse intervalo.

Passo 4

Para calcular essa área , vamos configurar uma integral definida da função de até :

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar , vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que a fórmula de integração por partes é:

Passo 6

Escolhemos e . Então, calculamos e :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :

Passo 9

Sabemos que e . Substituindo na expressão:

Resposta

A área da região limitada é igual a .

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