Oeterminie a aría da regià limitada pila curva
, pelo lixo
pelar vetas
&
e
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos encontrar a área da região limitada pela curva
, pelo eixo
, e pelas retas verticais
e
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a determinar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Sabemos que o logaritmo natural,
, está definido para
e cresce à medida que
aumenta, mas de forma crescente mais devagar.
Passo 3
As retas verticais
e
vão delimitar nosso intervalo de integração. Queremos encontrar a área entre a curva
e o eixo
nesse intervalo.
Passo 4
Para calcular essa área
, vamos configurar uma integral definida da função
de
até
:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que a fórmula de integração por partes é:
Passo 6
Escolhemos
e
. Então, calculamos
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Passo 9
Sabemos que
e
. Substituindo na expressão:
Resposta
A área da região limitada é igual a
.