Calcule as integrail integral t ln (t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular . Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da nossa expressão que vão servir de e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro do logaritmo. Sabemos que integral t cdot 2ln(t) , dt = 2 integral t ln(t) , dt é igual a . Então, nossa integral fica:
Agora, vamos aplicar a integração por partes na integral .

Passo 3

Na integração por partes, usamos a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = ln(t) Rightarrow du = 1t , dt
dv = t , dt Rightarrow v = t^22
Essas escolhas geralmente facilitam a integração, já que derivar o logaritmo simplifica a expressão.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula:
integral t ln(t) , dt = ln(t) cdot t^22 - integral t^22 cdot 1t , dt
Simplificando a segunda integral:
t^22 cdot 1t = t2
Então, temos:
integral t ln(t) , dt = t^22 ln(t) - integral t2 , dt

Passo 5

Vamos calcular a última integral:
integral t2 , dt = 12 cdot t^22 = t^24
Substituindo de volta:
integral t ln(t) , dt = t^22 ln(t) - t^24 + C
Lembrando que tínhamos um fator 2 no começo, então multiplicamos tudo por 2:
2 ( t^22 ln(t) - t^24 ) + C = t^2 ln(t) - t^22 + C

Resposta

integral t ln(t^2) , dt = t^2 ln(t) - t^22 + C

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