Calcule integral sen x cos x d x d sin ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de sin x cos x , dx mais a integral de sin^3 x , dx. Ou seja, queremos encontrar:
integral sin x cos x , dx + integral sin^3 x , dx
Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração, como a substituição trigonométrica e o uso de identidades trigonométricas. Vamos resolver cada integral passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral: integral sin x cos x , dx.
Aqui, podemos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma função para ser nossa variável de substituição. Observamos que sin x e cos x são multiplicadas, e derivadas uma da outra estão presentes. Então, vamos definir:
u = sin x
Agora, derivamos u em relação a x:
du = cos x , dx
Agora, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral u , du
Isso é uma integral básica. A integral de u , du é:
u^22 + C
Substituindo u de volta por sin x:
sin^2 x2 + C

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral sin^3 x , dx.
Para integrar sin^3 x, podemos usar uma identidade trigonométrica para facilitar a integração. Sabemos que:
sin^3 x = sin x (1 - cos^2 x)
Então, reescrevemos a integral:
integral sin x (1 - cos^2 x) , dx
Vamos usar substituição novamente. Definimos:
u = cos x
Derivando u em relação a x:
du = -sin x , dx implies -du = sin x , dx
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2)(-du) = -integral (1 - u^2) , du
Vamos integrar termo a termo:
-integral 1 , du + integral u^2 , du = -u + u^33 + C
Substituindo u de volta por cos x:
- cos x + cos^3 x3 + C

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
sin^2 x2 - cos x + cos^3 x3 + C

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