Calcule as integrail integral-1^1(x+1)(x^2+8 x+5)^12 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve integrais de funções compostas, onde a técnica de substituição será útil para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observamos que u = x^2 + 8x + 5 está elevada a uma potência, o que sugere que essa expressão pode ser nosso candidato para substituição.
Definimos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x + 8 em relação a du = (2x + 8) dx para substituir o na integral.
Calculando:

Passo 4

Queremos expressar 2x + 8 = 2(x + 4) em termos de du = 2(x + 4) dx . Observando que:
dx = du2(x + 4)
Podemos reescrever:
x + 1 = (x + 4) - 3
Também, reescrevemos em termos de :

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral-1^1 (x + 1) (x^2 + 8x + 5)^12 dx = integral-1^1 [(x + 4) - 3] u^12 cdot du2(x + 4)
Simplificando:
= 12 integral-1^1 u^12 du - 32 integral-1^1 u^12x + 4 du

Passo 6

No entanto, notamos que a segunda integral ainda depende de , o que complica a resolução. Para progredir, precisaríamos expressar em termos de , mas isso leva a expressões que não simplificam a integral de forma viável usando métodos elementares.

Resposta

Após aplicar a técnica de substituição e tentar simplificar, constatamos que a integral não pode ser resolvida facilmente usando métodos de integração padrão. Para calcular seu valor exato, seriam necessárias técnicas avançadas ou métodos numéricos específicos.

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