Calcule as integrail integral-5^5 x raizx+5 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral definida . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais, especificamente técnicas de substituição. Para isso, vamos precisar transformar a integral para uma forma mais fácil de resolver usando uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja x = u - 5 . Dessa forma, podemos reescrever dx = du em termos de :
E o diferencial vira:

Passo 3

Agora, vamos alterar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando u = -5 + 5 = 0 :
    u = 5 + 5 = 10
  • Quando integral0^10 (u - 5) raizu , du :
Então, a integral agora fica:

Passo 4

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral0^10 (u raizu - 5 raizu) , du
Sabemos que integral0^10 (u cdot u^1/2 - 5 u^1/2) , du = integral0^10 (u^3/2 - 5u^1/2) , du , então:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. Para integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 :
integral -5u^1/2 , du = -5 cdot 23 u^3/2 = -103 u^3/2
  1. Para 25 u^5/2 - 103 u^3/2 :
Então, a integral resulta em:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 10:
[ 25 u^5/2 - 103 u^3/2 ]0^10
Calculando para 25 (10)^5/2 - 103 (10)^3/2 :
10^3/2 = 10 raiz10
Sabemos que 10^5/2 = 100 raiz10 , então:
25 cdot 100 raiz10 - 103 cdot 10 raiz10 = 2005 raiz10 - 1003 raiz10
= 40 raiz10 - 1003 raiz10
Substituindo:
= (40 - 1003) raiz10
= 1203 raiz10 - 1003 raiz10
= 203 raiz10

Resposta

A integral é igual a .

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