Calcule as integrail integral e^te^t+1 d t

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral para resolver: . Isso faz parte do cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e frações algébricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fração dentro da integral: . Vemos que tanto o numerador quanto o denominador contêm , o que indica que uma substituição pode simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = e^t + 1
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = e^t em relação a du = e^t , dt para substituir dt = due^t :
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na nossa integral original usando integral e^te^t+1 , dt = integral e^tu cdot due^t e integral 1u , du :
Note que se cancela:

Passo 5

A integral simplificada é agora:
integral 1u , du
Essa é uma integral básica que conhecemos:
integral 1u , du = ln|u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original substituindo ln|e^t + 1| + C :
ln(e^t + 1) + C
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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