Use a Fórmula (1) para mostrar que
Assim, se for o tempo que leva a reta radial para varrer um
$$
\frac{t}{T}=\frac{\text { área do $$

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma fórmula que relaciona o tempo com uma integral envolvendo e o ângulo . O conteúdo envolve cálculo integral aplicado a movimentos orbitais, possivelmente relacionado às Leis de Kepler. Para resolver, vamos precisar entender como a área varrida por uma reta radial se relaciona com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fórmula fornecida:
Aqui, é o período orbital, é o semieixo maior da órbita, e é a excentricidade. A integral representa uma área varrida pela reta radial entre os ângulos e .

Passo 3

Sabemos que, segundo a segunda Lei de Kepler, a linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Isso significa que a taxa de varredura de área é constante. A área total da órbita elíptica é dada por:
Á
onde é o semieixo menor.

Passo 4

O tempo total do período orbital é , então a taxa de varredura de área por unidade de tempo é:
Á

Passo 5

Agora, queremos relacionar o tempo necessário para varrer uma área específica. Se a área varrida é , então:
A divisão por 2 ocorre porque a área integral é proporcional a , e precisamos ajustar para a proporcionalidade correta.

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
O que nos mostra que o tempo está diretamente relacionado à integral da área varrida pela reta radial.

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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