Use a Fórmula (1) para mostrar que
Assim, se
for o tempo que leva a reta radial para varrer um
$$
\frac{t}{T}=\frac{\text { área do $$
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma fórmula que relaciona o tempo
com uma integral envolvendo
e o ângulo
. O conteúdo envolve cálculo integral aplicado a movimentos orbitais, possivelmente relacionado às Leis de Kepler. Para resolver, vamos precisar entender como a área varrida por uma reta radial se relaciona com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a fórmula fornecida:
Aqui,
é o período orbital,
é o semieixo maior da órbita, e
é a excentricidade. A integral
representa uma área varrida pela reta radial entre os ângulos
e
.
Passo 3
Sabemos que, segundo a segunda Lei de Kepler, a linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Isso significa que a taxa de varredura de área é constante. A área total da órbita elíptica é dada por:
onde
é o semieixo menor.
Passo 4
O tempo total do período orbital é
, então a taxa de varredura de área por unidade de tempo é:
Passo 5
Agora, queremos relacionar o tempo
necessário para varrer uma área específica. Se a área varrida é
, então:
A divisão por 2 ocorre porque a área integral é proporcional a
, e precisamos ajustar para a proporcionalidade correta.
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
O que nos mostra que o tempo
está diretamente relacionado à integral da área varrida pela reta radial.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Um reservatório de água está sendo esvaziado e a função
indica o volume [em litros] de água presente no reservatório no tempo
[em minutos], com
. Pergunta-se: Qual a taxa média de variação do volume de água durante os primeiros 8 minutos?
Um reservatório de água está sendo esvaziado e a função
indica o volume [em litros] de água presente no reservatório no tempo
[em minutos], com
. Pergunta-se: A que taxa o volume de água do reservatório varia após 8 minutos?
Calcule as integrail
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