Calcule as integrail integral x^5 e^1-x^6 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral x^5 e^1 - x^6 dx. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição (também conhecida como u-substituição). Para resolver, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável u, de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dentro do expoente de e. Temos 1 - x^6. Notamos que a derivada dessa expressão em relação a x é -6x^5. Perceba que temos um x^5 na frente do e^1 - x^6, o que sugere que podemos usar substituição.

Passo 3

Vamos definir a substituição:
u = 1 - x^6
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = -6x^5 Rightarrow du = -6x^5 dx

Passo 4

Queremos expressar x^5 dx em termos de du. A partir da equação acima, temos:
x^5 dx = -16 du
Agora, podemos substituir u e x^5 dx na integral original.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral x^5 e^1 - x^6 dx = integral e^u ( -16 du ) = -16 integral e^u du

Passo 6

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Portanto:
-16 integral e^u du = -16 e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = 1 - x^6:
-16 e^u + C = -16 e^1 - x^6 + C

Resposta

A integral integral x^5 e^1 - x^6 dx é igual a -16 e^1 - x^6 + C, onde C é a constante de integração.

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