Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função definida por partes:
E o objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções básicas e entender como lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada parte da função separadamente. Quando temos uma função definida por partes, derivamos cada pedaço dentro do seu intervalo de definição.
Para
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então,
Passo 3
Agora, para
:
A derivada de
é
. Isso vem da regra da cadeia, onde a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Então,
Passo 4
Precisamos também verificar o ponto onde a função muda de definição, ou seja,
. Para que a função seja diferenciável nesse ponto, as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Calculando a derivada pela esquerda de
:
Calculando a derivada pela direita de
:
Como as derivadas são iguais, a função é diferenciável em
, e a derivada nesse ponto também é
.
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Encontre
.
.
Calcule a derivada.
.
Determine os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
Calcule as integrail