Encontre .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função definida por partes:
E o objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções básicas e entender como lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada parte da função separadamente. Quando temos uma função definida por partes, derivamos cada pedaço dentro do seu intervalo de definição.
Para :
A derivada de é e a derivada de é . Então,

Passo 3

Agora, para :
A derivada de é . Isso vem da regra da cadeia, onde a derivada de é . Aqui, e .
Então,

Passo 4

Precisamos também verificar o ponto onde a função muda de definição, ou seja, . Para que a função seja diferenciável nesse ponto, as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Calculando a derivada pela esquerda de :
Calculando a derivada pela direita de :
Como as derivadas são iguais, a função é diferenciável em , e a derivada nesse ponto também é .

Resposta

A derivada de é:

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Encontre . .
Calcule a derivada. .
Determine os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
Calcule as integrail