Determine os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função dada. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. A função que vamos analisar é uma função definida por partes:
Para resolver isso, precisamos saber como derivar funções e entender o que acontece nos pontos onde a definição da função muda.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada parte da função separadamente.
  • Para :
    A função é . A derivada de é simplesmente:
  • Para :
    A função é . A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe.
  • Para :
    A derivada é . Ela nunca é zero, então não há pontos críticos nessa parte.
  • Para :
    A derivada é . Para encontrar onde ela é zero, resolvemos:
    Então, é um possível ponto crítico.

Passo 4

Precisamos verificar se a derivada existe em . Isso é importante porque a função muda de regra nesse ponto.
  • Verificando os limites da derivada:
    • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
    • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
    Vemos que os limites das derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes ( e ), o que significa que a derivada não existe em .

Resposta

Portanto, o único ponto crítico da função é .

Exercícios relacionados

Encontre .
Encontre . .
Calcule as integrail
Calcule as integrais inprópreas