Determine os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função dada. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. A função que vamos analisar é uma função definida por partes:
Para resolver isso, precisamos saber como derivar funções e entender o que acontece nos pontos onde a definição da função muda.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada parte da função separadamente.
-
Para
: A função é. A derivada de é simplesmente: -
Para
: A função é. A derivada de é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe.
-
Para
: A derivada é. Ela nunca é zero, então não há pontos críticos nessa parte. -
Para
: A derivada é. Para encontrar onde ela é zero, resolvemos: Então,é um possível ponto crítico.
Passo 4
Precisamos verificar se a derivada existe em
. Isso é importante porque a função muda de regra nesse ponto.
-
Verificando os limites da derivada:
-
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ): -
Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ):
Vemos que os limites das derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes (e ), o que significa que a derivada não existe em . -
Resposta
Portanto, o único ponto crítico da função é
.
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Calcule as integrail
Calcule as integrais inprópreas