Calcule as integrail integral1 / 2^e / 2 t ln 2 t d x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é muito útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
  • (porque derivar o logaritmo simplifica a expressão)
  • (o resto da função)
Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t ln(2t) , dt = uv - integral v , du = ln(2t) cdot t^22 - integral t^22 cdot 1t , dt
Simplificando a segunda integral:
t^22 cdot 1t = t2
Então:
integral t ln(2t) , dt = t^22 ln(2t) - integral t2 , dt
Agora, integremos integral t2 , dt = 12 cdot t^22 = t^24 :
t^22 ln(2t) - t^24 + C
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora aplicamos os limites de integração de [ t^22 ln(2t) - t^24 ]12^e2 até (e2)^22 ln(e) - (e2)^24 = e^28 cdot 1 - e^216 = e^28 - e^216 = e^216 :
(12)^22 ln(1) - (12)^24 = 18 cdot 0 - 116 = -116
Calculando para e^216 - (-116) = e^2 + 116 :
Calculando para :
Subtraindo:

Resposta

A integral definida é igual a .

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