Calcule as integrail

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é muito útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
  • (porque derivar o logaritmo simplifica a expressão)
  • (o resto da função)
Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Então:
Agora, integremos :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora aplicamos os limites de integração de até :
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo:

Resposta

A integral definida é igual a .

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