Calcule as integrais inprópreas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e integrar funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar: uma de
até 0 e outra de 0 até
. Ou seja:
Passo 3
Vamos resolver a primeira parte:
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Passo 4
Agora, avaliamos os limites da primeira parte:
Simplificando:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento quando
:
-
cresce para . -
tende para porque é negativo e grande em módulo.
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda parte:
.
Usando a mesma técnica de integração por partes:
Avaliaremos os limites de 0 a
:
Passo 7
Analisando quando
:
-
tende a 0. -
também tende a 0.
Então:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
A integral imprópria
diverge para
.
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