Calcule as integrais inprópreas integral-infty^+infty x e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e integrar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar: uma de integral-infty^+infty x e^-x , dx = integral-infty^0 x e^-x , dx + integral0^+infty x e^-x , dx até 0 e outra de 0 até . Ou seja:

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte: u = x e dv = e^-x , dx . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
du = dx e v = -e^-x
Calculando integral u , dv = uv - integral v , du e integral x e^-x , dx = -x e^-x + integral e^-x , dx = -x e^-x - e^-x + C :
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:

Passo 4

Agora, avaliamos os limites da primeira parte:
lima to -infty [ -x e^-x - e^-x ]a^0 = lima to -infty [ (-0 cdot e^0) - e^0 ] - [ (-a e^-a) - e^-a ]
Simplificando:
-1 - ( -a e^-a - e^-a ) = -1 + a e^-a + e^-a

Passo 5

Vamos analisar o comportamento quando -1 + a e^-a + e^-a to -infty :
  • cresce para .
  • tende para porque é negativo e grande em módulo.
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda parte: integral x e^-x , dx = -x e^-x - e^-x + C .
Usando a mesma técnica de integração por partes:
[ -b e^-b - e^-b ] - [ 0 - 1 ] = -b e^-b - e^-b + 1
Avaliaremos os limites de 0 a :

Passo 7

Analisando quando -0 - 0 + 1 = 1 :
  • tende a 0.
  • também tende a 0.
Então:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:
integral-infty^+infty x e^-x , dx = (-infty) + 1 = -infty

Resposta

A integral imprópria diverge para .

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