Calcule as integrais inprópreas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e integrar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar: uma de até 0 e outra de 0 até . Ou seja:

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte: . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:

Passo 4

Agora, avaliamos os limites da primeira parte:
Simplificando:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento quando :
  • cresce para .
  • tende para porque é negativo e grande em módulo.
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda parte: .
Usando a mesma técnica de integração por partes:
Avaliaremos os limites de 0 a :

Passo 7

Analisando quando :
  • tende a 0.
  • também tende a 0.
Então:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:

Resposta

A integral imprópria diverge para .

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