Calcule integral cos ^3 x sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências das funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de substituição que facilita a integração quando temos potências ímpares de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^3 x = cos^2 x cdot cos x = (1 - sin^2 x) cdot cos x de uma forma que facilite a substituição. Podemos separar um fator de e expressar como , já que sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica básica).
Então, temos:

Passo 3

Agora, substituímos isso na integral original:
integral cos^3 x , sin^2 x , dx = integral (1 - sin^2 x) cdot cos x cdot sin^2 x , dx
= integral (sin^2 x - sin^4 x) cdot cos x , dx

Passo 4

Aqui, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = sin x
Então, a derivada de du = cos x , dx em relação a integral (sin^2 x - sin^4 x) cdot cos x , dx = integral (u^2 - u^4) , du é:
Isso significa que . Substituindo na integral, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^2 , du - integral u^4 , du = u^33 - u^55 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos sin^3 x3 - sin^5 x5 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a .

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