Calcule as integrail integral y^2(y^3+5)^2 d y

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais usando a técnica de substituição. Para solucioná-lo, vamos identificar uma substituição adequada que simplifique a expressão e facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador u = y^3 + 5 e o numerador . Vamos tentar substituir uma parte da integral por uma variável que torne a expressão mais simples. Definimos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de dudy = 3y^2 em relação a du = 3y^2 , dy :
y^2 , dy = du3
Isso nos dá:
Resolvendo para :
Agora, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral y^2(y^3+5)^2 , dy = integral 1u^2 cdot du3 = 13 integral u^-2 , du
Fatoramos a constante para facilitar a integração.

Passo 5

Agora, integramos integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C em relação a 13 integral u^-2 , du = 13 (-1u) + C = -13u + C :
Multiplicando pela constante :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u = y^3 + 5 implies -13u + C = -13(y^3+5) + C de volta em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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