Calcule as integrail integral0^1 t+3raizt^2+6 t+5 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de de até . Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais, especificamente técnicas de substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador t^2 + 6t + 5 = (t + 3)^2 - 4 . Para isso, completamos o quadrado no polinômio dentro da raiz:
integral0^1 t + 3raiz(t + 3)^2 - 4 , dt
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar integral3^4 uraizu^2 - 4 , du . Assim, a derivada de em relação a é . Também precisamos ajustar os limites da integral:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral uraizu^2 - 4 , du = raizu^2 - 4 + C . Observamos que o numerador é e o denominador envolve , o que sugere que podemos usar uma substituição direta. De fato, a integral de é , onde é a constante de integração.
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 3 a 4:
[ raiz4^2 - 4 ] - [ raiz3^2 - 4 ] = raiz16 - 4 - raiz9 - 4 = raiz12 - raiz5
Simplificando:
raiz12 = 2raiz3
Então:
2raiz3 - raiz5

Resposta

A integral vale .

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