Calcule as integrail integral0^5 1x(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida . A gente vai usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de expansão e integração termo a termo. Precisamos entender como simplificar a função dentro da integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 . Para isso, vamos expandir o quadrado:
1x(x^2 + 2x + 1) = x^2x + 2xx + 1x = x + 2 + 1x
Então, a fração fica:
integral0^5 (x + 2 + 1x) , dx
Agora, a integral fica mais simples:

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais:
integral (x + 2 + 1x) , dx = integral x , dx + integral 2 , dx + integral 1x , dx
Agora, vamos calcular cada uma:

Passo 4

Juntando tudo, a integral fica:
integral0^5 (x + 2 + 1x) , dx = [12x^2 + 2x + ln|x|]0^5
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, ou seja, substituir e e fazer a subtração.

Passo 5

Primeiro, substituímos 12(5)^2 + 2(5) + ln|5| = 12(25) + 10 + ln5 = 12.5 + 10 + ln5 = 22.5 + ln5 :
12(0)^2 + 2(0) + ln|0| = 0 + 0 + ln0
Agora, substituímos :
Mas aí temos um problema: é indefinido (tende a ). Isso significa que a integral é imprópria no limite inferior. Na prática, isso indica que a área tende a infinito negativo, ou seja, a integral não converge.

Resposta

A integral é divergente porque não está definido. Portanto, a integral não converge.

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