Calcule as integrail integral0^1 xe^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e identificar quais partes da nossa função serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. A expressão integral0^1 x e^-2x ,dx pode ser reescrita como . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivamos e como a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 4

Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-2x ,dx Rightarrow v = integral e^-2x ,dx = -12 e^-2x
Aqui, derivamos para encontrar e integramos para encontrar .

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^1 x e^-2x ,dx = uv |0^1 - integral0^1 v , du
Substituindo = ( x cdot (-12 e^-2x) ) |0^1 - integral0^1 (-12 e^-2x) cdot dx , , :

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a parte ( -12 x e^-2x ) |0^1 = -12 (1) e^-2(1) - ( -12 (0) e^-2(0) ) = -12 e^-2 - 0 = -12 e^-2 avaliada nos limites de 0 a 1:

Passo 7

Agora, a segunda parte da integração por partes:
-integral0^1 (-12 e^-2x) dx = 12 integral0^1 e^-2x dx
Vamos calcular essa integral:
integral e^-2x dx = -12 e^-2x + C
Então,
12 [ -12 e^-2x ] |0^1 = -14 e^-2x |0^1 = -14 e^-2 + 14 e^0 = -14 e^-2 + 14

Passo 8

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
-12 e^-2 + ( -14 e^-2 + 14 ) = -12 e^-2 - 14 e^-2 + 14 = -34 e^-2 + 14

Resposta

A integral 14 - 34 e^-2 é igual a:

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