Calcule as integrail integral0^1 raiz4 x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções radicais. Para resolver, vamos precisar aplicar o método de substituição, que facilita a integração de expressões mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso nos ajuda a transformar a expressão dentro da raiz em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial de dudx = 4 Rightarrow dx = du4 em relação a . Derivando , temos:

Passo 4

Substituímos integral raiz4x - 1 , dx = integral raizu cdot du4 = 14 integral u^12 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar 14 integral u^12 , du = 14 cdot 23 u^32 + C = 16 u^32 + C :

Passo 6

Substituímos 16 (4x - 1)^32 + C de volta para a variável original :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 16 (4x - 1)^32 |0^1 = 16 [ (4 cdot 1 - 1)^32 - (4 cdot 0 - 1)^32 ] a :

Passo 8

Calculamos cada termo:
(4 cdot 1 - 1)^32 = 3^32 = 3 raiz3
(4 cdot 0 - 1)^32 = (-1)^32
Aqui, notamos que não é um número real, o que indica que a integral é definida apenas onde , ou seja, para . Portanto, ajustamos os limites de integração para a .

Passo 9

Recalculando com os limites ajustados:
16 (4x - 1)^32 |14^1 = 16 [ 3 raiz3 - 0 ] = 3 raiz36 = raiz32

Resposta

O valor da integral é .

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