Calcule as integrais inprópreas integral0^+infty x e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que são aquelas que têm limites de integração que vão até o infinito ou que envolvem funções não definidas em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender como lidar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes, que é uma técnica baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher e de forma estratégica para simplificar nossa integral.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
  • du = dx (porque sua derivada é simples)
  • v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x (que é fácil de integrar)
Então, vamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x e^-2x dx = u cdot v - integral v , du = x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) dx
Simplificando:
= -12 x e^-2x + 12 integral e^-2x dx

Passo 5

Vamos integrar integral e^-2x dx = -12 e^-2x + C :
-12 x e^-2x + 12 (-12 e^-2x) + C = -12 x e^-2x - 14 e^-2x + C
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, temos a integral definida de 0 até integral0^+infty x e^-2x dx = [ -12 x e^-2x - 14 e^-2x ]0^+infty :
e^-2x to 0 e x e^-2x to 0
Vamos calcular os limites:
  • Para -12 cdot 0 cdot e^0 - 14 e^0 = -14 :
  • Para :

Passo 7

Subtraindo os limites:
0 - (-14) = 14

Resposta

A integral imprópria é igual a .

Exercícios relacionados