Calcule as integrais inprópreas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que são aquelas que têm limites de integração que vão até o infinito ou que envolvem funções não definidas em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender como lidar com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes, que é uma técnica baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
Precisamos escolher
e
de forma estratégica para simplificar nossa integral.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
-
(porque sua derivada é simples) -
(que é fácil de integrar)
Então, vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, temos a integral definida de 0 até
:
Vamos calcular os limites:
- Para
: - Para
:
Passo 7
Subtraindo os limites:
Resposta
A integral imprópria
é igual a
.
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.
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