Calcule as integrais inprópreas

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que são aquelas que têm limites de integração que vão até o infinito ou que envolvem funções não definidas em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender como lidar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes, que é uma técnica baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
Precisamos escolher e de forma estratégica para simplificar nossa integral.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
  • (porque sua derivada é simples)
  • (que é fácil de integrar)
Então, vamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, temos a integral definida de 0 até :
Vamos calcular os limites:
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Subtraindo os limites:

Resposta

A integral imprópria é igual a .

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