Calcule as integrail integral1 / 2^e / 2 t ln 2 t d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser .

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln(2t) e dv = t , dt
Agora, vamos calcular du = ddt ln(2t) , dt = 22t , dt = 1t , dt e v = integral t , dt = t^22 :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral t ln(2t) , dt = uv - integral v , du
= ln(2t) cdot t^22 - integral t^22 cdot 1t , dt
= t^22 ln(2t) - 12 integral t , dt

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
12 integral t , dt = 12 cdot t^22 = t^24
Então, a expressão fica:
t^22 ln(2t) - t^24 + C

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de [ t^22 ln(2t) - t^24 ]12^e2 a (e2)^22 ln(2 cdot e2) - (e2)^24 = e^28 ln(e) - e^216 :
= e^28 cdot 1 - e^216 = e^28 - e^216 = e^216
Calculando para (12)^22 ln(2 cdot 12) - (12)^24 = 18 ln(1) - 116 :
= 18 cdot 0 - 116 = -116
Calculando para :

Resposta

Subtraindo os valores:
e^216 - (-116) = e^216 + 116 = e^2 + 116
Portanto, o valor da integral é .

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