Calcule as integrais inprópreas integral-infty^1 e^1-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria integral-infty^1 e^1-x , dx. Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque um dos limites de integração é o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais com limites infinitos e aplicar as propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o limite infinito. Vamos substituir o limite inferior -infty por uma variável a que vai tendendo a -infty:
integral-infty^1 e^1-x , dx = lima to -infty integrala^1 e^1-x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a antiderivada da função e^1-x. Sabemos que a integral de e^kx em relação a x é 1k e^kx + C. No nosso caso, k = -1, então:
integral e^1-x , dx = -e^1-x + C

Passo 4

Com a antiderivada em mãos, vamos avaliar a integral definida de a a 1:
integrala^1 e^1-x , dx = [ -e^1-x ]a^1 = (-e^1-1) - (-e^1-a) = -e^0 + e^1-a = -1 + e^1-a
Agora, aplicamos o limite quando a to -infty:
lima to -infty (-1 + e^1-a) = -1 + lima to -infty e^1-a
Sabemos que, quando a to -infty, 1 - a to +infty, então e^1-a to +infty. Portanto:
-1 + (+infty) = +infty

Resposta

A integral imprópria integral-infty^1 e^1-x , dx diverge para infinito. Ou seja, seu valor é +infty.

Exercícios relacionados